Resolva o problema com o campo
e a superfície
que é a parte do plano
contida no primeiro octante, orientada com normal para fora com
e
independentemente e mostre que são iguais.
Passo 1
O enunciado dá o campo
e a superfície
é o pedaço do plano
no primeiro octante, com normal apontando para fora do sólido
. A curva
é o contorno triangular de
. Vamos verificar o Teorema de Stokes, calculando independentemente
e
.
e
Passo 2
Primeiro achamos o rotacional de
. Por definição,
Calculando cada componente:
,
,
.
Logo
Logo
Passo 3
Parametrizamos
por
Então
e
que está orientado conforme a normal
. Assim
Em
temos
, então
Logo
Fazendo a integral interna:
Então
Passo 4
Agora calculamos
. A curva
tem três arestas:
Aresta
: interseção com
,
. Parametrização
Em
,
então
Integramos
Passo 5
Aresta
: interseção com
,
. Parametrização
Em
,
logo
Integramos
Passo 6
Aresta
: interseção com
,
. Parametrização
Em
,
portanto
Integramos
Somando as três arestas,
Resposta
Os dois integrais dão
, confirmando o Teorema de Stokes.