Resolva o problema
Passo 1
O enunciado dá a equação da onda
com condições de contorno de Neumann
e condições iniciais
O método é separação de variáveis e expansão em série de cossenos (meia-onda Neumann).
Passo 2
O problema de autovalores em
com
em
tem autovalores
,
, e autofunções
Como a velocidade de propagação é
, o modo
oscila com frequência
Passo 3
A solução geral satisfaz
De
vem
e
. De
obtemos a expansão de
em série de cossenos. Se escrevemos
então
e a solução torna-se
Passo 4
Calculamos os coeficientes da série de cossenos de
em
:
Fazendo os cálculos por partes chega-se a
Em particular, para
ímpar
e para
par
.
Passo 5
Substituindo em
temos
Logo