Resolva o problema
\left\{\begin{array}{ccr} u_{t t}=4 u_{x x}, & 0<x<\pi, & t>0 \\\ u_{x}(0, t)=0 & u_{x}(\pi, t)=0, & t>0 \\\ u(x, 0)=0 & u_{t}(x, 0)=x^{3}(3 x-4 \pi) & 0 \leq x \leq \pi \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a equação da onda
u_{tt}=4\,u_{xx},\quad 0<x<\pi,\\ t>0
com condições de contorno de Neumann
u_{x}(0,t)=0,\quad u_{x}(\pi,t)=0
e condições iniciais
u(x,0)=0,\quad u_{t}(x,0)=f(x),\quad f(x)=x^{3}(3x-4\pi).
O método é separação de variáveis e expansão em série de cossenos (meia-onda Neumann).

Passo 2

O problema de autovalores em 0<x<\pi com u_x=0 em x=0,\pi tem autovalores \lambda_n=n^2, n=0,1,2,\dots, e autofunções
\phi_n(x)=\cos(nx).
Como a velocidade de propagação é c=2, o modo n oscila com frequência
\omega_n=2n.

Passo 3

A solução geral satisfaz
u(x,t)=A_0 + B_0\,t + \sum_{n=1}^{\infty}\bigl(A_n\cos(2n t)+B_n\sin(2n t)\bigr)\cos(nx).
De u(x,0)=0 vem A_0=0 e A_n=0. De
u_{t}(x,0)=B_0 + \sum_{n=1}^\infty 2n\,B_n\cos(nx)=f(x)
obtemos a expansão de f(x) em série de cossenos. Se escrevemos
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx),
então
B_0=\frac{a_0}{2},\quad B_n=\frac{a_n}{2n},
e a solução torna-se
u(x,t)=\frac{a_0}{2}\,t+\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{2n}\,\sin(2n t)\,\cos(nx).

Passo 4

Calculamos os coeficientes da série de cossenos de
\displaystyle f(x)=x^3(3x-4\pi)=3x^4-4\pi x^3 em [0,\pi]:
a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx,\quad n\ge0.
Fazendo os cálculos por partes chega-se a
a_0=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi(3x^4-4\pi x^3)\,dx=-\frac{4}{5}\pi^4,
a_n=-\frac{48\bigl(1+2(-1)^n\bigr)}{n^4} \quad(n\ge1).
Em particular, para n ímpar a_n=+\tfrac{48}{n^4} e para n par a_n=-\tfrac{144}{n^4}.

Passo 5

Substituindo em
u(x,t)=\frac{a_0}{2}\,t+\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{2n}\sin(2n t)\cos(nx)
temos
\frac{a_0}{2}=-\frac{2}{5}\pi^4, \quad \frac{a_n}{2n}=-\frac{24\bigl(1+2(-1)^n\bigr)}{n^5}.
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Resposta

\boxed{% u(x,t)=-\frac{2}{5}\,\pi^4\,t -\sum_{n=1}^\infty\frac{24\bigl(1+2(-1)^n\bigr)}{n^5}\,\sin(2n t)\,\cos(nx). }

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