Determine o fluxo do campo vetorial \vec{f}(x, y, z)=(-3 y, 3 x, 2) e S é parte do plano z=1 dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=9.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial
\vec f(x,y,z)=(-3y,\,3x,\,2)
através da superfície S, que é a parte do plano z=1 contida no cilindro x^2+y^2=9.
O conceito principal é o de integral de superfície de fluxo:
\Phi=\iint_{S}\vec f\cdot\vec n\,dS,
onde \vec n é o versor normal à superfície.

Passo 2

Como S está no plano horizontal z=1, adotamos o versor normal unitário apontando para cima:
\vec n=(0,0,1).
Logo, o produto escalar é
\vec f\cdot\vec n =(-3y,\,3x,\,2)\cdot(0,0,1)=2.

Passo 3

Para superfícies horizontais, vale dS=dA, onde dA é o elemento de área no plano xy.
Assim
\Phi =\iint_{S}\vec f\cdot\vec n\,dS =\iint_{D}2\,dA,
sendo D o disco x^2+y^2\le9.

Passo 4

O disco D tem raio 3, então sua área é 9\pi. Portanto,
\Phi =2\iint_{D}dA =2\cdot(9\pi) =18\pi.

Resposta

18\pi

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