Usar o teorema da divergência para calcular a integral da superfície dada:
Usando o teorema de Gauss, determine o fluxo do campo vetorial \vec{f}(x, y, z)=\left(y^{2}, x, z^{2}\right) e S é parte do paraboloide z=x^{2}+y^{2} abaixo do plano z=1.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \vec f(x,y,z)=(y^2,x,z^2) através de S, parte do paraboloide z=x^2+y^2 abaixo de z=1. Vamos usar o Teorema da Divergência (Teorema de Gauss), que diz
\iint_{\partial V}\vec f\cdot\vec n\,dS \;=\;\iiint_{V}\nabla\!\cdot\!\vec f\,dV,
onde V é o volume limitado por S e pelo disco no plano z=1. Nosso objetivo será calcular \iint_{S}\vec f\cdot\vec n\,dS extraindo a contribuição da face superior.

Passo 2

Calcular a divergência de \vec f:
\nabla\!\cdot\!\vec f =\frac{\partial}{\partial x}(y^2)+\frac{\partial}{\partial y}(x)+\frac{\partial}{\partial z}(z^2) =0+0+2z =2z.

Passo 3

Avaliar o integral de volume
\iiint_{V}2z\,dV
em coordenadas cilíndricas: x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta,\;z=z, com 0\le r\le1, 0\le\theta\le2\pi, r^2\le z\le1. Assim,
\iiint_{V}2z\,dV =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}\!\int_{r^2}^{1}2z\,(r\,dz\,dr\,d\theta) =2\pi\int_{0}^{1}\Bigl[\int_{r^2}^{1}2z\,dz\Bigr]r\,dr.
Dentro do colchete \int_{r^2}^{1}2z\,dz=[z^2]_{r^2}^{1}=1-r^4, então
\iiint_{V}2z\,dV =2\pi\int_{0}^{1}(1-r^4)\,r\,dr =2\pi\Bigl[\tfrac12r^2-\tfrac16r^6\Bigr]_{0}^{1} =2\pi\bigl(\tfrac12-\tfrac16\bigr) =\tfrac{2\pi}{3}.

Passo 4

Calcular o fluxo através da face superior S_1, o disco x^2+y^2\le1 em z=1. A normal externa é \vec n=(0,0,1) e \vec f\cdot\vec n=z^2\big|_{z=1}=1. Logo,
\iint_{S_1}\vec f\cdot\vec n\,dS =\iint_{\text{disco}}1\,dS =\pi\cdot1^2 =\pi.

Passo 5

Pelo Teorema de Gauss aplicado ao volume V,
\iint_{S}\vec f\cdot\vec n\,dS +\iint_{S_1}\vec f\cdot\vec n\,dS =\iiint_{V}\nabla\!\cdot\!\vec f\,dV.
Isolando o fluxo sobre S,
\iint_{S}\vec f\cdot\vec n\,dS =\tfrac{2\pi}{3}-\pi =-\tfrac{\pi}{3}.

Resposta

-\tfrac{\pi}{3}

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