Usar o teorema da divergência para calcular a integral da superfície dada:
Usando o teorema de Gauss, determine o fluxo do campo vetorial \vec{f}(x, y, z)=\left(y^{2}, x, z^{2}\right) e S é parte do paraboloide z=x^{2}+y^{2} abaixo do plano z=1.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de \vec f(x,y,z)=(y^2,x,z^2) através de S, parte do paraboloide z=x^2+y^2 abaixo de z=1. Vamos usar o Teorema da Divergência (Teorema de Gauss), que diz
onde V é o volume limitado por S e pelo disco no plano z=1. Nosso objetivo será calcular \iint_{S}\vec f\cdot\vec n\,dS extraindo a contribuição da face superior.
Passo 2
Calcular a divergência de \vec f:
\nabla\!\cdot\!\vec f =\frac{\partial}{\partial x}(y^2)+\frac{\partial}{\partial y}(x)+\frac{\partial}{\partial z}(z^2) =0+0+2z =2z.
Passo 3
Avaliar o integral de volume
\iiint_{V}2z\,dV
em coordenadas cilíndricas: x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta,\;z=z, com 0\le r\le1, 0\le\theta\le2\pi, r^2\le z\le1. Assim,
Calcular o fluxo através da face superior S_1, o disco x^2+y^2\le1 em z=1. A normal externa é \vec n=(0,0,1) e \vec f\cdot\vec n=z^2\big|_{z=1}=1. Logo,