Determine o fluxo elétrico do campo vetorial através da superfície limitada por rho=2 ; 0 <= phi <= pi2 e 0 <= z <= 1. (2,5 pt)
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo vec A = 2,ax - z^2,ay + 3xy,az
através da superfície cilíndrica lateral definida por
rho = 2, 0 <= phi <= tfracpi2, 0 <= z <= 1
O conteúdo envolvido é o cálculo de fluxo de um campo vetorial numa superfície paramétrica. Vamos usar coordenadas cilíndricas (rho,phi,z) para parametrizar essa superfície.
Passo 2
Na superfície lateral temos rho=2 constante e a normal unitária externa é
hat n = hat arho = cosphi,hat ax + sinphi,hat ay
O elemento de área é
dS = rho,dphi,dz = 2,dphi,dz,
logo
dvec S = hat n,dS = hat arho,(2,dphi,dz)
Passo 3
Precisamos de Arho = vec Acdothat arho. Em coordenadas cilíndricas:
Ax = 2, Ay = -z^2,
então
Arho = Axcosphi + Aysinphi = 2cosphi - z^2sinphi
Passo 4
O fluxo é
Phi = integral duplalat cil vec Acdot dvec S = integralphi=0^pi/2!!integralz=0^1 l(2cosphi - z^2sinphir),(2,dz,dphi)