Determine o fluxo elétrico do campo vetorial A=2 a x-z^2 a y+3 x y a z através da superfície limitada por rho=2 ; 0 <= phi <= pi2 e 0 <= z <= 1. (2,5 pt)

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo
vec A = 2,ax - z^2,ay + 3xy,az
através da superfície cilíndrica lateral definida por
rho = 2, 0 <= phi <= tfracpi2, 0 <= z <= 1
O conteúdo envolvido é o cálculo de fluxo de um campo vetorial numa superfície paramétrica. Vamos usar coordenadas cilíndricas (rho,phi,z) para parametrizar essa superfície.

Passo 2

Na superfície lateral temos rho=2 constante e a normal unitária externa é
hat n = hat arho = cosphi,hat ax + sinphi,hat ay
O elemento de área é
dS = rho,dphi,dz = 2,dphi,dz,
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dvec S = hat n,dS = hat arho,(2,dphi,dz)

Passo 3

Precisamos de Arho = vec Acdothat arho. Em coordenadas cilíndricas:
Ax = 2, Ay = -z^2,
então
Arho = Axcosphi + Aysinphi = 2cosphi - z^2sinphi

Passo 4

O fluxo é
Phi = integral duplalat cil vec Acdot dvec S = integralphi=0^pi/2!!integralz=0^1 l(2cosphi - z^2sinphir),(2,dz,dphi)
Ou seja,
Phi = 2 integral0^pi/2!integral0^1 l(2cosphi - z^2sinphir),dz,dphi

Passo 5

Primeiro integramos em z:
integral0^1 l(2cosphi - z^2sinphir),dz = 2cosphiintegral0^1dz ;-;sinphiintegral0^1 z^2dz = 2cosphi - sinphicdottfrac13
Multiplicando por 2 e integrando em phi:
Phi = 2integral0^pi/2l(2cosphi - tfrac13sinphir)dphi = 2l[2sinphi + tfrac13cosphir]0^pi/2 = 2l(2cdot1 - tfrac13cdot0 - (0 + tfrac13cdot1)r) = 2l(2 - tfrac13r) = 2cdottfrac53 = tfrac103

Resposta

O fluxo através da superfície cilíndrica lateral é tfrac103

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