Encontre a solução geral das equações:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
Para resolver, vamos usar que a solução geral é
onde
é a solução da equação homogênea e
é uma solução particular da não-homogênea.
Passo 2
Encontramos
resolvendo a homogênea
A equação característica é
de onde
ou
. Logo
Passo 3
Agora buscamos
que anule a parte constante
. Como um palpite de solução particular de termo constante falha (zeraria as derivadas), tentamos
Então
e substituindo em
obtemos
Portanto
Passo 4
Em seguida tratamos a parte
. Fazemos o palpite
Calculamos
Substituindo em
vem
Igualando a
dá o sistema
Da primeira equação
. Substituindo na segunda
logo
. Então
Passo 5
Pela superposição, a solução particular completa é
Assim a solução geral fica