Encontre a solução geral das equações:
y^prime prime+2 y^prime=3+4 sin (2 t)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2y' = 3 + 4sin(2t)
Para resolver, vamos usar que a solução geral é
y(t) = yh(t) + yp(t),
onde yh é a solução da equação homogênea e yp é uma solução particular da não-homogênea.

Passo 2

Encontramos yh resolvendo a homogênea
y'' + 2y' = 0
A equação característica é
lambda^2 + 2lambda = 0Longrightarrow lambda(lambda + 2)=0,
de onde lambda=0 ou lambda=-2. Logo
yh(t) = C1 + C2e^-2t

Passo 3

Agora buscamos yp1 que anule a parte constante 3. Como um palpite de solução particular de termo constante falha (zeraria as derivadas), tentamos
yp1(t) = A,t
Então
y'p1 = A, y''p1 = 0,
e substituindo em y''+2y'=3 obtemos
0 + 2A = 3Longrightarrow A = tfrac32
Portanto
yp1(t) = tfrac32,t

Passo 4

Em seguida tratamos a parte 4sin(2t). Fazemos o palpite
yp2(t) = Kcos(2t) + Msin(2t)
Calculamos
y'p2 = -2Ksin(2t) + 2Mcos(2t),
y''p2 = -4Kcos(2t) -4Msin(2t)
Substituindo em y''+2y'=4sin(2t) vem
(-4Kcos2t -4Msin2t) +2(-2Ksin2t +2Mcos2t) = ( -4K+4M)cos2t +(-4M-4K)sin2t
Igualando a 0cdotcos2t +4sin2t dá o sistema
-4K +4M = 0, -4M -4K = 4
Da primeira equação M=K. Substituindo na segunda
-4K -4K =4Longrightarrow -8K=4Longrightarrow K=-tfrac12,
logo M=-tfrac12. Então
yp2(t) = -tfrac12cos(2t) ;-;tfrac12sin(2t)

Passo 5

Pela superposição, a solução particular completa é
yp(t) = yp1(t) + yp2(t) = tfrac32t ;-;tfrac12cos(2t) ;-;tfrac12sin(2t)
Assim a solução geral fica
y(t) = C1 + C2e^-2t + tfrac32t - tfrac12cos(2t) - tfrac12sin(2t)

Resposta

boxedy(t) = C1 + C2e^-2t + tfrac32,t ;-;tfrac12cos(2t) ;-;tfrac12sin(2t)

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