Encontre a solução geral das equações:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes
Vamos usar o método de superposição: primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea e depois uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Para a parte homogênea
escrevemos a equação característica
cuja solução é
Logo a solução geral homogênea é
Passo 3
Como o termo não homogêneo é
e
corresponde à raiz simples
da característica, fazemos o ansatz
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo em
e fatorando
obtemos
que deve ser igual a
.
Passo 5
Comparando coeficientes no polinômio em
:
Portanto
Passo 6
A solução geral é a soma da parte homogênea com a particular: