Encontre a solução geral das equações:
y^prime prime-2 y^prime-3 y=-3 t e^-t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' - 3y = -3t,e^-t
Vamos usar o método de superposição: primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea e depois uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Para a parte homogênea
y'' - 2y' - 3y = 0
escrevemos a equação característica
r^2 - 2r - 3 = 0
cuja solução é
r = 3, r = -1
Logo a solução geral homogênea é
yh(t) = C1 e^3t + C2 e^-t

Passo 3

Como o termo não homogêneo é -3t,e^-t e e^-t corresponde à raiz simples r=-1 da característica, fazemos o ansatz
yp(t) = t,(A t + B),e^-t = l(A t^2 + B tr),e^-t,
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp = (A t^2 + B t)e^-t,
yp' = l(-A t^2 + (2A - B)t + Br),e^-t,
yp'' = l(A t^2 + (-4A + B)t + (2A - 2B)r),e^-t
Substituindo em y'' - 2y' -3y e fatorando e^-t obtemos
yp'' -2yp' -3yp = e^-tl[-8A,t + (2A - 4B)r]
que deve ser igual a -3t,e^-t.

Passo 5

Comparando coeficientes no polinômio em t:
-8A = -3 Longrightarrow A = tfrac38,
2A - 4B = 0 Longrightarrow B = tfracA2 = tfrac316
Portanto
yp(t) = l(tfrac38t^2 + tfrac316tr),e^-t

Passo 6

A solução geral é a soma da parte homogênea com a particular:
y(t) = C1 e^3t + C2 e^-t + l(tfrac38t^2 + tfrac316tr)e^-t

Resposta

y(t) = C1 e^3t + C2 e^-t + l(tfrac38t^2 + tfrac316tr)e^-t

Exercícios relacionados