Esboce o gráfico, determine o domínio e a imagem de cada função.
f(x)=4 cdot e^3 x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico de
f(x) = 4,e^3x,
além de determinar seu domínio e sua imagem. O conteúdo principal é o estudo de funções exponenciais: sabemos que a função e^3x está definida para todo xinR e nunca zera, e o fator 4 apenas escala verticalmente o gráfico.

Passo 2

Para encontrar o domínio de f, lembramos que a função exponencial e^3x está definida para todo real. Logo, não há restrição em x:
Domínio(f) = xinR í

Passo 3

A imagem de f são todos os valores que f(x) pode assumir. Como e^3x>0 para todo x, e multiplicamos por 4>0, temos
f(x)>0forall x
Além disso, à medida que xto-infty, e^3xto0 e f(x)to0^+; e quando xto+infty, f(x)to+infty. Portanto,
Ima>=m(f) = (0,,+infty)

Passo 4

Vamos analisar o comportamento e esboçar o gráfico qualitativo:
  • Para xto-infty:
    limxto-inftyf(x) = limxto-infty4,e^3x = 0^+,
    ou seja, há uma assíntota horizontal em y=0.
  • Em x=0:
    f(0) = 4,e^0 = 4,
    ponto de interceptação com o eixo y.
  • Para xto+infty:
    limxto+inftyf(x) = +infty,
    mostrando que a curva cresce sem limite.
Esboço (curva crescente, assíntota em y=0, passa em (0,4)):
c y 10,bul<=tbul<=t 8;bul<=tbul<=t 6;;bul<=t 4;;|;bul<=t;(0,4) 2;;|;bul<=t;--- assíntota y=0 0;;ru<=1cm0.4ptlongrightarrow x í

Resposta

Domínio: R
Imagem: (0,,+infty)
Gráfico: curva exponencial crescente, assíntota em y=0, intercepta y em (0,4).

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