Determine o fluxo líquido através do cubo do exercício 27 se o campo elétrico for dado por
.
Passo 1
Beleza, o exercício manda: “Determine o fluxo elétrico líquido através de um cubo (com aresta de comprimento a) se o campo é
.”
Isso pertence à parte de eletrostática sobre fluxo de campo elétrico e à Lei de Gauss (ou teorema da divergência). Para resolver, a gente pode usar dois caminhos:
Isso pertence à parte de eletrostática sobre fluxo de campo elétrico e à Lei de Gauss (ou teorema da divergência). Para resolver, a gente pode usar dois caminhos:
- Calcular diretamente as integrais de superfície em cada face do cubo.
- Usar o teorema da divergência (aquele que diz que o fluxo total por uma superfície fechada = integral da divergência no volume).
Como o campo é bem simples, vamos usar o teorema da divergência para poupar trabalho.
Passo 2
Antes de mais nada, lembra o que é fluxo e o teorema da divergência:
- Fluxo:
. - Teorema da divergência (Gauss):
.
Ou seja, em vez de integrar em cada face, a gente calculae faz uma integral de volume.
Passo 3
Vamos achar a divergência do campo
.
Por definição,
Por definição,
Aqui
,
e
. Logo:
Passo 4
Agora aplicamos a integral de volume no cubo de aresta
: