Usando o sistema massa-mola, mostre que a energia cinética é máxima quando a partícula está em sua posição de equilíbrio.

Passo 1

Beleza, então o enunciado pede: “Usando o sistema massa-mola, mostre que a energia cinética é máxima quando a partícula está em sua posição de equilíbrio.”
Conteúdo: Movimento Harmônico Simples (MHS) e conservação de energia.
O que vamos precisar:
  • A equação do deslocamento de um MHS.
  • A relação entre constante elástica , massa e frequência angular .
  • Como calcular velocidade e energia cinética .
  • Entender que energia total é constante.

Passo 2

Primeiro, lembra do MHS massa-mola: a solução geral pro deslocamento é
x(t) = A cosl(omega t + varphir),
onde

é a frequência angular,
é amplitude e é fase inicial.
Isso vem de resolver .

Passo 3

Agora a velocidade é a derivada de v(t) = dot x(t) = -A,omega sinl(omega t + varphir) . Derivando:
K(t) = tfrac12,m,v(t)^2 = tfrac12,m,(Aomega)^2 sin^2l(omega t + varphir) = tfrac12,m A^2 omega^2 ,sin^2!(omega t + varphi)
Então a energia cinética é

Passo 4

Pensa também na energia potencial elástica:
U(t) = tfrac12,k,x(t)^2 = tfrac12,k,A^2 cos^2!(omega t + varphi)
Como E = K + U = tfrac12 m A^2 omega^2sin^2 + tfrac12 m A^2 omega^2cos^2 = tfrac12 m A^2 omega^2 = constante , a energia total fica

Passo 5

Repara que varia de zero até
, pois varia entre 0 e 1.
O máximo de é 1, e isso acontece quando
. Nesse instante
, ou seja, .
E é justamente a posição de equilíbrio da mola.

Resposta

A energia cinética atinge seu valor máximo
Kmax = tfrac12,m,A^2,omega^2
quando , ou seja, na posição de equilíbrio da partícula no sistema massa-mola.

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