Determine o fluxo de rot(F) através de S, sendo:
S é a superfície do elipsóide x^24+y^29+z^216=1, e F(x, y, z)=(2 x y, 0,-x z).

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de rot(F) através da superfície fechada S, que é o elipsóide x^24+y^29+z^216=1. O conteúdo principal aqui é cálculo vetorial, mais especificamente o uso do Teorema da Divergência (ou Gauss) para fluxos de rotacional em superfícies fechadas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional de F(x,y,z)=(2xy,0,-xz). Por definição,
[
\nabla \times F = i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z 2xy & 0 & -xz
= \bigl(0,,z,,-2x\bigr).

Passo 3

Agora, pelo Teorema da Divergência, o fluxo de um campo vetorial G=nablatimes F através de uma superfície fechada S é dado por
integral duplaS(nablatimes F)cdotn,dS = integral triplaVnablacdot(nablatimes F),dV

Passo 4

Como sabemos que a divergência de um rotacional é sempre zero, ou seja,
nablacdot(nablatimes F)=0,
o integral de volume sobre qualquer região fechada também será zero. Portanto, o fluxo desejado é zero.

Resposta

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