Determine o fluxo de através de , sendo: é a superfície do elipsóide , e .
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de através da superfície fechada , que é o elipsóide . O conteúdo principal aqui é cálculo vetorial, mais especificamente o uso do Teorema da Divergência (ou Gauss) para fluxos de rotacional em superfícies fechadas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional de . Por definição,
[
\nabla \times F =
= \bigl(0,,z,,-2x\bigr).
Passo 3
Agora, pelo Teorema da Divergência, o fluxo de um campo vetorial G=nablatimes F através de uma superfície fechada S é dado por
integral duplaS(nablatimes F)cdotn,dS = integral triplaVnablacdot(nablatimes F),dV
Passo 4
Como sabemos que a divergência de um rotacional é sempre zero, ou seja,
nablacdot(nablatimes F)=0,
o integral de volume sobre qualquer região fechada também será zero. Portanto, o fluxo desejado é zero.