Suponhamos que a superfície fechada
e o campo vetorial
satisfaçam as hipóteses do teorema de Gauss e do teorema de Stokes. Prove que o fluxo de
através de
é nulo:
usando o teorema de Stokes;
usando o teorema de Stokes;
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o fluxo de
através de uma superfície fechada
é zero. O conteúdo aqui é o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo à integral de linha na fronteira dessa superfície.
Passo 2
O Teorema de Stokes afirma que, para uma superfície orientada
com fronteira
, vale
Passo 3
Como
é uma superfície fechada, sua fronteira
é o conjunto vazio. Portanto, a integral de linha sobre
é nula:
Passo 4
Substituindo essa conclusão na igualdade do Teorema de Stokes, obtemos que
Resposta
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