Suponhamos que a superfície fechada S e o campo vetorial F satisfaçam as hipóteses do teorema de Gauss e do teorema de Stokes. Prove que o fluxo de rot(F) através de S é nulo:
usando o teorema de Stokes;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o fluxo de rot(F) através de uma superfície fechada S é zero. O conteúdo aqui é o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo à integral de linha na fronteira dessa superfície.

Passo 2

O Teorema de Stokes afirma que, para uma superfície orientada S com fronteira partial S, vale
integral duplaS rot(F) cdot n,dS = ointpartial S F cdot dr

Passo 3

Como S é uma superfície fechada, sua fronteira partial S é o conjunto vazio. Portanto, a integral de linha sobre partial S é nula:
ointpartial S F cdot dr = 0

Passo 4

Substituindo essa conclusão na igualdade do Teorema de Stokes, obtemos que
integral duplaS rot(F) cdot n,dS = 0

Resposta

0

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