Determine o fluxo de rot(F) através de S, sendo:
S é formada pelas faces do cubo [-1,1] times[-1,1] times[-1,1] que não estão no plano z=-1, com orientação para fora, e F(x, y, z)=(x y z, x y, x^2 y z).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de cálculo vetorial onde precisamos encontrar o fluxo do rotacional de um campo vetorial $ \mathbf{F} $ através de uma superfície $ S $. O enunciado nos dá:
  • $ S $ é composto pelas faces de um cubo com vértices em F , exceto a face no plano $ z = -1 $.
  • A orientação de $ S $ é para fora do cubo.
  • O campo vetorial é $ \mathbf{F}(x, y, z) = (xyz, xy, x^{2} yz) $.
Para resolver, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de rotacional e o Teorema de Gauss (divergência). Precisaremos calcular o rotacional de $ \mathbf{F} $ e depois integrar esse rotacional sobre a superfície $ S $.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional de $ \mathbf{F} $, que é denotado por $ \nabla \times \mathbf{F} $. O rotacional é dado pela seguinte fórmula:
F
Vamos calcular cada componente:
  • $ F_1 = xyz $
  • $ F_2 = xy $
  • $ F_3 = x^{2} yz $
Calculando as derivadas parciais:
nabla times F
nabla times F = ( partial F3partial y - partial F2partial z, partial F1partial z - partial F3partial x, partial F2partial x - partial F1partial y )
F1 = xyz
Agora, substituindo na fórmula do rotacional:
F2 = xy

Passo 3

Agora que temos o rotacional de $ \mathbf{F} $, vamos calcular o fluxo desse rotacional através da superfície $ S $. O fluxo é dado pela integral de superfície:
F
Onde $ \mathbf{n} $ é o vetor normal à superfície $ S $, orientado para fora.
No entanto, para facilitar os cálculos, podemos usar o Teorema de Gauss para superfícies fechadas, que relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial com a integral de volume da divergência do rotacional. Mas, sabemos que a divergência do rotacional é sempre zero:
S
Isso significa que o fluxo do rotacional através de qualquer superfície fechada é zero.

Passo 4

Como $ S $ é a superfície fechada do cubo sem a face $ z = -1 $, mas orientada para fora, a ausência dessa face não afeta o resultado porque a contribuição dessa face também seria zero. Portanto, mesmo sem a face $ z = -1 $, o fluxo total do rotacional através de $ S $ ainda será zero.

Resposta

O fluxo de $ \nabla \times \mathbf{F} $ através de $ S $ é igual a zero.

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