Determine o fluxo de
através de
, sendo:
é formada pelas faces do cubo
que não estão no plano
, com orientação para fora, e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de cálculo vetorial onde precisamos encontrar o fluxo do rotacional de um campo vetorial $ \mathbf{F} $ através de uma superfície $ S $. O enunciado nos dá:
- $ S $ é composto pelas faces de um cubo com vértices em
, exceto a face no plano $ z = -1 $. - A orientação de $ S $ é para fora do cubo.
- O campo vetorial é $ \mathbf{F}(x, y, z) = (xyz, xy, x^{2} yz) $.
Para resolver, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de rotacional e o Teorema de Gauss (divergência). Precisaremos calcular o rotacional de $ \mathbf{F} $ e depois integrar esse rotacional sobre a superfície $ S $.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional de $ \mathbf{F} $, que é denotado por $ \nabla \times \mathbf{F} $. O rotacional é dado pela seguinte fórmula:
Vamos calcular cada componente:
- $ F_1 = xyz $
- $ F_2 = xy $
- $ F_3 = x^{2} yz $
Calculando as derivadas parciais:
Agora, substituindo na fórmula do rotacional:
Passo 3
Agora que temos o rotacional de $ \mathbf{F} $, vamos calcular o fluxo desse rotacional através da superfície $ S $. O fluxo é dado pela integral de superfície:
Onde $ \mathbf{n} $ é o vetor normal à superfície $ S $, orientado para fora.
No entanto, para facilitar os cálculos, podemos usar o Teorema de Gauss para superfícies fechadas, que relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial com a integral de volume da divergência do rotacional. Mas, sabemos que a divergência do rotacional é sempre zero:
Isso significa que o fluxo do rotacional através de qualquer superfície fechada é zero.
Passo 4
Como $ S $ é a superfície fechada do cubo sem a face $ z = -1 $, mas orientada para fora, a ausência dessa face não afeta o resultado porque a contribuição dessa face também seria zero. Portanto, mesmo sem a face $ z = -1 $, o fluxo total do rotacional através de $ S $ ainda será zero.
Resposta
O fluxo de $ \nabla \times \mathbf{F} $ através de $ S $ é igual a zero.