Suponhamos que a superfície fechada S e o campo vetorial F satisfaçam as hipóteses do teorema de Gauss e do teorema de Stokes. Prove que o fluxo de rot(F) através de S é nulo:
usando o teorema de Gauss.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o fluxo de rot(F) através de uma superfície fechada S é zero, usando o teorema de Gauss. Estamos em cálculo vetorial e vamos precisar do teorema da divergência e da identidade fundamental div(rotF)=0.

Passo 2

Aplicamos o teorema de Gauss (teorema da divergência), que diz que o fluxo de um campo vetorial G através de uma superfície fechada S que envolve o volume V é igual à integral de volume da divergência de G:
integral duplaSGcdot dS = integral triplaVdiv(G),dV
Aqui escolhemos G=rot(F).

Passo 3

Substituímos G=rot(F) e usamos a identidade vetorial conhecida:
div(rotF)=0
Logo,
integral triplaVdiv(rotF),dV = integral triplaV0,dV = 0

Passo 4

Portanto, pelo teorema de Gauss, o fluxo de rot(F) através de S é
integral duplaSrot(F)cdot dS = 0

Resposta

0

Exercícios relacionados