Suponhamos que a superfície fechada
e o campo vetorial
satisfaçam as hipóteses do teorema de Gauss e do teorema de Stokes. Prove que o fluxo de
através de
é nulo:
usando o teorema de Gauss.
usando o teorema de Gauss.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o fluxo de
através de uma superfície fechada
é zero, usando o teorema de Gauss. Estamos em cálculo vetorial e vamos precisar do teorema da divergência e da identidade fundamental
.
Passo 2
Aplicamos o teorema de Gauss (teorema da divergência), que diz que o fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície fechada
que envolve o volume
é igual à integral de volume da divergência de
:
Aqui escolhemos
.
Passo 3
Substituímos
e usamos a identidade vetorial conhecida:
Logo,
Passo 4
Portanto, pelo teorema de Gauss, o fluxo de
através de
é
Resposta
0