Determine o fluxo do rotacional do campo F(x, y, z)=y z \mathbf{i}+x z \mathbf{j}+x y \mathbf{k}, através da superfície parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 que está dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=1 e acima do plano x y da seguìnte forma:
(a) Diretamente da definição de integral de superfície;
(b) Usando o teorema de Stokes.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do rotacional do campo \mathbf{F}(x,y,z)=y z\,\mathbf{i}+x z\,\mathbf{j}+x y\,\mathbf{k} através da superfície S que é a parte da esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=4
contida dentro do cilindro
x^{2}+y^{2}=1
e acima do plano xy (ou seja, com z\ge 0). Precisamos responder duas coisas:
(a) calcular o fluxo \iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS diretamente pela definição de integral de superfície;
(b) calcular o mesmo fluxo usando o Teorema de Stokes (que transforma a integral de superfície do rotacional numa integral de linha ao longo da fronteira \partial S).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Campo vetorial: \mathbf{F}(x,y,z)=y z\,\mathbf{i}+x z\,\mathbf{j}+x y\,\mathbf{k}.
  • Superfície S: porção da esfera de raio 2 com projeção radial x^{2}+y^{2}\le 1 e com z\ge 0.
  • Fronteira \partial S é a curva de interseção da esfera com o cilindro e com z\ge0; da esfera e do cilindro obtemos x^{2}+y^{2}=1 e então z^{2}=4-1=3, logo a fronteira é o círculo x^{2}+y^{2}=1,\; z=\sqrt{3}.

Passo 2

Primeiro calculemos o rotacional \nabla\times\mathbf{F}. Vou lembrar a fórmula componente a componente:
\nabla\times\mathbf{F}= \left( \frac{\partial F_{z}}{\partial y}-\frac{\partial F_{y}}{\partial z}, \;\, \frac{\partial F_{x}}{\partial z}-\frac{\partial F_{z}}{\partial x}, \;\, \frac{\partial F_{y}}{\partial x}-\frac{\partial F_{x}}{\partial y} \right),
onde \mathbf{F}=(F_x,F_y,F_z). Aqui F_x=y z,\;F_y=x z,\;F_z=x y. Calculemos cada derivada:
  • \dfrac{\partial F_{z}}{\partial y}=\dfrac{\partial (x y)}{\partial y}=x.
  • \dfrac{\partial F_{y}}{\partial z}=\dfrac{\partial (x z)}{\partial z}=x.
    Logo a primeira componente é x-x=0.
  • \dfrac{\partial F_{x}}{\partial z}=\dfrac{\partial (y z)}{\partial z}=y.
  • \dfrac{\partial F_{z}}{\partial x}=\dfrac{\partial (x y)}{\partial x}=y.
    Logo a segunda componente é y-y=0.
  • \dfrac{\partial F_{y}}{\partial x}=\dfrac{\partial (x z)}{\partial x}=z.
  • \dfrac{\partial F_{x}}{\partial y}=\dfrac{\partial (y z)}{\partial y}=z.
    Logo a terceira componente é z-z=0.
Portanto
\nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}.
Breve comentário didático: o rotacional mede a tendência do campo a “girar” localmente. Aqui todas as componentes cancelaram, então o rotacional é o vetor zero em todo \mathbb{R}^{3}. Quando o rotacional é identicamente zero numa região simplesmente conexa, o campo é conservativo (possui potencial). De fato, nota-se que \mathbf{F}=\nabla(x y z), ou seja \mathbf{F} é gradiente do potencial \varphi(x,y,z)=x y z.

Passo 3

A integral de superfície do rotacional é, por definição,
\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS.
Já temos \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}. Assim o integrando é sempre zero e a integral vale zero automaticamente:
\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS=\iint_{S}\mathbf{0}\cdot\mathbf{n}\,dS=\iint_{S}0\,dS=0.
Explicação didática: mesmo que se quisesse escrever \mathbf{n} e dS explicitamente (por exemplo a normal unitária à esfera de raio 2 é \mathbf{n}=(x,y,z)/2 e dS seria a área do patch), não é necessário porque o produto com o vetor zero é zero ponto a ponto. Portanto o fluxo do rotacional através de S é 0.

Passo 4

Enunciado do Teorema de Stokes (forma que usamos): para uma superfície orientada S com fronteira \partial S orientada compatíveis pela regra da mão direita,
\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS=\oint_{\partial S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.
Aqui já sabemos pelo cálculo do passo 2 que o lado esquerdo vale 0. Pelo teorema, então a integral de linha no contorno também deve valer 0. Vamos calcular explicitamente a integral de linha para ver que de fato é zero.
A fronteira \partial S é o círculo x^{2}+y^{2}=1,\; z=\sqrt{3}. Parametrizamos por
\mathbf{r}(t)=(\cos t,\;\sin t,\;\sqrt{3}),\qquad 0\le t\le 2\pi.
Então
\mathbf{r}'(t)=(-\sin t,\;\cos t,\;0).
Avaliar \mathbf{F} ao longo da curva:
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=(y z,\;x z,\;x y)=(\sqrt{3}\sin t,\;\sqrt{3}\cos t,\;\cos t\sin t).
O produto escalar \mathbf{F}\cdot\mathbf{r}' é
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) =\sqrt{3}\sin t\cdot(-\sin t)+\sqrt{3}\cos t\cdot(\cos t)+\cos t\sin t\cdot 0 =\sqrt{3}\bigl(\cos^{2}t-\sin^{2}t\bigr)=\sqrt{3}\cos(2t).
Agora integramos:
\oint_{\partial S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{3}\cos(2t)\,dt =\sqrt{3}\left[\tfrac{1}{2}\sin(2t)\right]_{0}^{2\pi} =\sqrt{3}\cdot 0=0.
Observação sobre orientação: se a normal escolhida para S fosse a oposta, a orientação do contorno invertiria e o sinal da integral de linha mudaria; ainda assim o resultado numérico é 0. Isso bate com a conclusão do passo 2 (rotacional nulo) e com a propriedade de campos conservativos (lintegral fechado é zero).

Passo 5

  • Pelo cálculo direto, \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0} implica imediatamente que o fluxo pela superfície é 0.
  • Pelo Teorema de Stokes, o mesmo fluxo é igual à integral de linha de \mathbf{F} ao longo do círculo de fronteira; a parametrização e cálculo dessa integral dá 0.
  • Nota didática: como \mathbf{F}=\nabla(x y z), o campo é conservativo em todo \mathbb{R}^{3} e qualquer integral de linha fechada é zero — isso é o porquê físico/matemático do resultado zero.

Resposta

(a) 0
(b) 0

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