Determine o fluxo do rotacional do campo
, através da superfície parte da esfera
que está dentro do cilindro
e acima do plano
da seguìnte forma:
(a) Diretamente da definição de integral de superfície;
(b) Usando o teorema de Stokes.
(a) Diretamente da definição de integral de superfície;
(b) Usando o teorema de Stokes.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do rotacional do campo
através da superfície
que é a parte da esfera
contida dentro do cilindro
e acima do plano
(ou seja, com
). Precisamos responder duas coisas:
(a) calcular o fluxo diretamente pela definição de integral de superfície;
(b) calcular o mesmo fluxo usando o Teorema de Stokes (que transforma a integral de superfície do rotacional numa integral de linha ao longo da fronteira ).
(a) calcular o fluxo
(b) calcular o mesmo fluxo usando o Teorema de Stokes (que transforma a integral de superfície do rotacional numa integral de linha ao longo da fronteira
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Campo vetorial:
. - Superfície
: porção da esfera de raio com projeção radial e com . - Fronteira
é a curva de interseção da esfera com o cilindro e com ; da esfera e do cilindro obtemos e então , logo a fronteira é o círculo .
Passo 2
Primeiro calculemos o rotacional
. Vou lembrar a fórmula componente a componente:
onde
. Aqui
. Calculemos cada derivada:
-
-
Logo a primeira componente é. -
-
Logo a segunda componente é. -
-
Logo a terceira componente é.
Portanto
Breve comentário didático: o rotacional mede a tendência do campo a “girar” localmente. Aqui todas as componentes cancelaram, então o rotacional é o vetor zero em todo
. Quando o rotacional é identicamente zero numa região simplesmente conexa, o campo é conservativo (possui potencial). De fato, nota-se que
, ou seja
é gradiente do potencial
.
Passo 3
A integral de superfície do rotacional é, por definição,
Já temos
. Assim o integrando é sempre zero e a integral vale zero automaticamente:
Explicação didática: mesmo que se quisesse escrever
e
explicitamente (por exemplo a normal unitária à esfera de raio
é
e
seria a área do patch), não é necessário porque o produto com o vetor zero é zero ponto a ponto. Portanto o fluxo do rotacional através de
é
.
Passo 4
Enunciado do Teorema de Stokes (forma que usamos): para uma superfície orientada
com fronteira
orientada compatíveis pela regra da mão direita,
Aqui já sabemos pelo cálculo do passo 2 que o lado esquerdo vale
. Pelo teorema, então a integral de linha no contorno também deve valer
. Vamos calcular explicitamente a integral de linha para ver que de fato é zero.
A fronteira
é o círculo
. Parametrizamos por
Então
Avaliar
ao longo da curva:
O produto escalar
é
Agora integramos:
Observação sobre orientação: se a normal escolhida para
fosse a oposta, a orientação do contorno invertiria e o sinal da integral de linha mudaria; ainda assim o resultado numérico é
. Isso bate com a conclusão do passo 2 (rotacional nulo) e com a propriedade de campos conservativos (lintegral fechado é zero).
Passo 5
- Pelo cálculo direto,
implica imediatamente que o fluxo pela superfície é . - Pelo Teorema de Stokes, o mesmo fluxo é igual à integral de linha de
ao longo do círculo de fronteira; a parametrização e cálculo dessa integral dá . - Nota didática: como
, o campo é conservativo em todo e qualquer integral de linha fechada é zero — isso é o porquê físico/matemático do resultado zero.
Resposta
(a)
(b)
(b)