Usando os conceitos de Transformada de Laplace e sua inversa resolva:
Determine a transformada inversa de Laplace de
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s^{2}+s+1}{s^{3}+s}\right\}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pedido: determinar a transformada inversa de Laplace de \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s^{2}+s+1}{s^{3}+s}\right\}.
  • Informação dada: uma função racional em s, \dfrac{s^{2}+s+1}{s^{3}+s}. Não há outras condições adicionais.
  • Observação útil (apenas listando dados): o numerador tem grau 2 e o denominador tem grau 3; o denominador é fatorável em termos simples (isto será usado).

Passo 2

Escolha do método (explicação curta e motivação):
Como temos uma função racional com grau do numerador menor que o do denominador e o denominador fatorável em fatores quadráticos e lineares simples, o método mais direto é decompor em frações parciais e inverter cada parcela usando a tabela básica de transformadas de Laplace. Isso usa a linearidade da transformada: se \mathcal{L}\{f\}=F e \mathcal{L}\{g\}=G então \mathcal{L}^{-1}\{aF+bG\}=af+bg.

Passo 3

Fatoração do denominador:
Escrevemos o denominador em fatores mais simples:
s^{3}+s = s\,(s^{2}+1).

Passo 4

Decomposição em frações parciais (passo a passo):
  • Postulamos uma decomposição da forma
\frac{s^{2}+s+1}{s\,(s^{2}+1)}=\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{s^{2}+1},
onde A,B,C são constantes a determinar.
  • Multiplicando ambos os lados por s(s^{2}+1) obtemos a identidade polinomial
s^{2}+s+1 = A(s^{2}+1)+(Bs+C)s.
  • Expandindo o lado direito:
A(s^{2}+1)+(Bs+C)s = A s^{2}+A + B s^{2} + C s = (A+B)s^{2} + C s + A.
  • Igualando coeficientes de polinômios (mesmos potências de s):
    • coeficiente de s^{2}: 1 = A + B,
    • coeficiente de s: 1 = C,
    • termo constante: 1 = A.
  • Das últimas igualdades vem A=1. Substituindo em 1=A+B obtemos B=0. E já temos C=1.
  • Portanto a decomposição é
\frac{s^{2}+s+1}{s^{3}+s}=\frac{1}{s}+\frac{1}{s^{2}+1}.

Passo 5

Inversão termo a termo usando a tabela básica de Laplace (explicando as fórmulas usadas):
  • Recordando definições e fórmulas importantes:
    • A transformada de Laplace é definida por \displaystyle \mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt.
    • Fórmulas que vamos usar: \mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s}\quad(\text{para }\Re(s)>0),
\mathcal{L}\{\sin t\}=\frac{1}{s^{2}+1}\quad(\text{para }\Re(s)>0).
  • Aplicando a transformada inversa a cada parcela (pela linearidade):
    • \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s}\right\}=1.
    • \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}+1}\right\}=\sin t.

Resposta

\;1+\sin t

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