Usando os conceitos de Transformada de Laplace e sua inversa resolva:
Determine a transformada inversa de Laplace de
Determine a transformada inversa de Laplace de
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pedido: determinar a transformada inversa de Laplace de
. - Informação dada: uma função racional em
, . Não há outras condições adicionais. - Observação útil (apenas listando dados): o numerador tem grau
e o denominador tem grau ; o denominador é fatorável em termos simples (isto será usado).
Passo 2
Escolha do método (explicação curta e motivação):
Como temos uma função racional com grau do numerador menor que o do denominador e o denominador fatorável em fatores quadráticos e lineares simples, o método mais direto é decompor em frações parciais e inverter cada parcela usando a tabela básica de transformadas de Laplace. Isso usa a linearidade da transformada: se e
então
.
Como temos uma função racional com grau do numerador menor que o do denominador e o denominador fatorável em fatores quadráticos e lineares simples, o método mais direto é decompor em frações parciais e inverter cada parcela usando a tabela básica de transformadas de Laplace. Isso usa a linearidade da transformada: se
Passo 3
Fatoração do denominador:
Escrevemos o denominador em fatores mais simples:
Escrevemos o denominador em fatores mais simples:
Passo 4
Decomposição em frações parciais (passo a passo):
- Postulamos uma decomposição da forma
onde
são constantes a determinar.
- Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
- Expandindo o lado direito:
- Igualando coeficientes de polinômios (mesmos potências de
): - coeficiente de
: , - coeficiente de
: , - termo constante:
.
- coeficiente de
- Das últimas igualdades vem
. Substituindo em obtemos . E já temos . - Portanto a decomposição é
Passo 5
Inversão termo a termo usando a tabela básica de Laplace (explicando as fórmulas usadas):
- Recordando definições e fórmulas importantes:
- A transformada de Laplace é definida por
. - Fórmulas que vamos usar:
- A transformada de Laplace é definida por
- Aplicando a transformada inversa a cada parcela (pela linearidade):
-