Resolva:
Verifique se existe o limite \lim _{z \rightarrow 0} \frac{z^{2}}{\bar{z}}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se existe o limite
\lim_{z\to 0}\frac{z^{2}}{\bar{z}}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A variável z é um número complexo; escrevendo z=x+iy temos \bar{z}=x-iy.
  • A expressão \dfrac{z^{2}}{\bar{z}} não está definida em z=0 (pois \bar{0}=0), mas o limite considera valores de z que se aproximam de 0, z\neq0.
  • A questão é: existe um número complexo L tal que, quando z tende a 0 por quaisquer caminhos no plano complexo, \dfrac{z^{2}}{\bar{z}} tende a L? Se sim, qual é L?

Passo 2

Primeira ideia simples (métrica): usar a propriedade do módulo de complexos para obter uma estimativa do tamanho da expressão. Para z\neq0 vale
\left|\frac{z^{2}}{\bar{z}}\right|=\frac{|z|^{2}}{|\bar{z}|}.
Lembre que para qualquer complexo z vale |\bar{z}|=|z|. Portanto, para z\neq0,
\left|\frac{z^{2}}{\bar{z}}\right|=\frac{|z|^{2}}{|z|}=|z|.

Passo 3

Interpretação da desigualdade do passo anterior: a distância (módulo) do valor \dfrac{z^{2}}{\bar{z}} à origem é exatamente |z|. Ou seja, para z\neq0,
\left|\frac{z^{2}}{\bar{z}}-0\right|=|z|.
Isto já sugere que, quando |z|\to0, o módulo de \dfrac{z^{2}}{\bar{z}} tende a 0, independentemente da direção pela qual z se aproxima de 0.

Passo 4

Uma forma alternativa e intuitiva (polar) que deixa claro a independência do ângulo: escreva z em coordenadas polares
z=r e^{i\theta},\qquad r=|z|,\\ \theta=\arg z.
Então \bar{z}=r e^{-i\theta} e, para r>0,
\frac{z^{2}}{\bar{z}}=\frac{r^{2}e^{2i\theta}}{r e^{-i\theta}}=r e^{3i\theta}.
Aqui vemos que o módulo é |r e^{3i\theta}|=r e o fator de fase e^{3i\theta} depende do ângulo, mas o módulo depende só de r. Ao fazer r\to0 (isto é, z\to0), obtemos r e^{3i\theta}\to 0 para qualquer \theta. Portanto a tendência não depende do caminho: o valor tende a 0.

Passo 5

Prova formal com \varepsilon- \delta (gosto do rigor, mas é simples): seja \varepsilon>0. Escolha \delta=\varepsilon. Se 0<|z|<\delta então, usando o resultado do Passo 2,
\left|\frac{z^{2}}{\bar{z}}-0\right|=\left|\frac{z^{2}}{\bar{z}}\right|=|z|<\delta=\varepsilon.
Isto mostra que para qualquer \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que 0<|z|<\delta implica \left|\dfrac{z^{2}}{\bar{z}}-0\right|<\varepsilon. Portanto o limite existe e vale 0.

Passo 6

Cheque por caminhos (sanity check): por exemplo, ao aproximar por eixo real ( z=x\in\mathbb{R}), \dfrac{z^{2}}{\bar z}=\dfrac{x^{2}}{x}=x\to0. Pelo eixo imaginário ( z=iy), \bar z=-iy e \dfrac{z^{2}}{\bar z}=\dfrac{(iy)^{2}}{-iy}=\dfrac{-y^{2}}{-iy}=iy\to0. Ambos dão 0, em concordância com o resultado geral.

Resposta

0

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