Resolva:
Verifique se existe o limite \lim _{z \rightarrow 0} \frac{z^{2}}{\bar{z}}.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se existe o limite
\lim_{z\to 0}\frac{z^{2}}{\bar{z}}.
Informações dadas e observações iniciais:
A variável z é um número complexo; escrevendo z=x+iy temos \bar{z}=x-iy.
A expressão \dfrac{z^{2}}{\bar{z}} não está definida em z=0 (pois \bar{0}=0), mas o limite considera valores de z que se aproximam de 0, z\neq0.
A questão é: existe um número complexo L tal que, quando z tende a 0 por quaisquer caminhos no plano complexo, \dfrac{z^{2}}{\bar{z}} tende a L? Se sim, qual é L?
Passo 2
Primeira ideia simples (métrica): usar a propriedade do módulo de complexos para obter uma estimativa do tamanho da expressão. Para z\neq0 vale
Aqui vemos que o módulo é |r e^{3i\theta}|=r e o fator de fase e^{3i\theta} depende do ângulo, mas o módulo depende só de r. Ao fazer r\to0 (isto é, z\to0), obtemos r e^{3i\theta}\to 0 para qualquer \theta. Portanto a tendência não depende do caminho: o valor tende a 0.
Passo 5
Prova formal com \varepsilon-\delta (gosto do rigor, mas é simples): seja \varepsilon>0. Escolha \delta=\varepsilon. Se 0<|z|<\delta então, usando o resultado do Passo 2,
Isto mostra que para qualquer \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que 0<|z|<\delta implica \left|\dfrac{z^{2}}{\bar{z}}-0\right|<\varepsilon. Portanto o limite existe e vale 0.
Passo 6
Cheque por caminhos (sanity check): por exemplo, ao aproximar por eixo real (z=x\in\mathbb{R}), \dfrac{z^{2}}{\bar z}=\dfrac{x^{2}}{x}=x\to0. Pelo eixo imaginário (z=iy), \bar z=-iy e \dfrac{z^{2}}{\bar z}=\dfrac{(iy)^{2}}{-iy}=\dfrac{-y^{2}}{-iy}=iy\to0. Ambos dão 0, em concordância com o resultado geral.