Determine a massa de um arame com um formato de semicírculo x^{2}+y^{2}=1, y \geq 0, cuja função densidade linear é dada por \rho(x, y)=x^{2} y.

Passo 1

O enunciado pede a massa de um arame com o formato de semicírculo dado por \,x^{2}+y^{2}=1,\; y\ge 0\, cuja densidade linear (massa por unidade de comprimento) é \,\rho(x,y)=x^{2}y\,.
Informações e perguntas claras:
  • O fio é a curva C definida por \,x^{2}+y^{2}=1,\; y\ge 0\, (um semicírculo de raio \,1).
  • A densidade linear em cada ponto (x,y) da curva é \,\rho(x,y)=x^{2}y.
  • Pergunta: calcular a massa total do arame, isto é a integral da densidade ao longo da curva.

Passo 2

Conceito usado: massa de um fio com densidade linear variável.
Se C é a curva do fio e \rho(x,y) é a densidade linear, a massa M é dada por
M=\int_{C}\rho(x,y)\,ds,
onde ds é o elemento de comprimento de arco ao longo da curva.
Explicando ds: se a curva for parametrizada por x(t),y(t) com t variando em um intervalo [a,b], então
ds=\sqrt{\Big(\frac{dx}{dt}\Big)^{2}+\Big(\frac{dy}{dt}\Big)^{2}}\,dt.
Aqui vai-se parametrizar o semicírculo de raio \,1.

Passo 3

Parametrização natural do semicírculo de raio 1: usar o parâmetro angular t\in[0,\pi]:
x(t)=\cos t,\qquad y(t)=\sin t,\qquad 0\le t\le \pi.
Agora calculamos as derivadas:
\frac{dx}{dt}=-\sin t,\qquad \frac{dy}{dt}=\cos t.
Logo
\sqrt{\Big(\frac{dx}{dt}\Big)^{2}+\Big(\frac{dy}{dt}\Big)^{2}} =\sqrt{\sin^{2}t+\cos^{2}t} =1.
Portanto ds=dt para essa parametrização — é um ponto importante e simplifica muito a integral.

Passo 4

Substituir a parametrização na densidade: em termos de t,
\rho(x(t),y(t))=\rho(\cos t,\sin t)=\cos^{2}t\cdot\sin t.
Assim a massa fica
M=\int_{C}\rho\,ds=\int_{0}^{\pi}\rho(\cos t,\sin t)\,dt =\int_{0}^{\pi}\cos^{2}t\sin t\,dt.

Passo 5

Resolver a integral \displaystyle \int_{0}^{\pi}\cos^{2}t\sin t\,dt. Usamos substituição u=\cos t. Então du=-\sin t\,dt, ou \sin t\,dt=-du. Mudança de limites: quando t=0 tem u=\cos 0=1; quando t=\pi tem u=\cos\pi=-1. Assim
\int_{0}^{\pi}\cos^{2}t\sin t\,dt =\int_{t=0}^{t=\pi} u^{2}(-du) =\int_{u=1}^{u=-1}-u^{2}\,du =\int_{u=-1}^{u=1}u^{2}\,du.
A integral de u^{2} é \dfrac{u^{3}}{3}, então
\int_{-1}^{1}u^{2}\,du=\left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{-1}^{1} =\frac{1^{3}}{3}-\frac{(-1)^{3}}{3} =\frac{1}{3}-\Big(-\frac{1}{3}\Big) =\frac{2}{3}.

Passo 6

Conclusão: a massa do arame é \dfrac{2}{3}. Bom trabalho — a técnica chave aqui foi parametrizar a curva e lembrar que ds=\sqrt{(dx/dt)^{2}+(dy/dt)^{2}}\,dt; no caso do círculo unitário isso simplificou para ds=dt, deixando a integral bem direta.

Resposta

\dfrac{2}{3}

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