Determine a massa de um arame com um formato de semicírculo
, cuja função densidade linear é dada por
.
Passo 1
O enunciado pede a massa de um arame com o formato de semicírculo dado por
cuja densidade linear (massa por unidade de comprimento) é
.
Informações e perguntas claras:
Informações e perguntas claras:
- O fio é a curva
definida por (um semicírculo de raio ). - A densidade linear em cada ponto
da curva é . - Pergunta: calcular a massa total do arame, isto é a integral da densidade ao longo da curva.
Passo 2
Conceito usado: massa de um fio com densidade linear variável.
Se é a curva do fio e
é a densidade linear, a massa
é dada por
Se
onde
é o elemento de comprimento de arco ao longo da curva.
Explicando : se a curva for parametrizada por
com
variando em um intervalo
, então
Explicando
Aqui vai-se parametrizar o semicírculo de raio
.
Passo 3
Parametrização natural do semicírculo de raio
: usar o parâmetro angular
:
Agora calculamos as derivadas:
Logo
Portanto
para essa parametrização — é um ponto importante e simplifica muito a integral.
Passo 4
Substituir a parametrização na densidade: em termos de
,
Assim a massa fica
Passo 5
Resolver a integral
. Usamos substituição
. Então
, ou
. Mudança de limites: quando
tem
; quando
tem
. Assim
A integral de
é
, então
Passo 6
Conclusão: a massa do arame é
. Bom trabalho — a técnica chave aqui foi parametrizar a curva e lembrar que
; no caso do círculo unitário isso simplificou para
, deixando a integral bem direta.