1. Determine o foco e a diretriz da parábola y=-\frac{1}{6} x^{2} e trace o gráfico.

Passo 1

O enunciado dá a parábola y=-\tfrac{1}{6}x^{2} e pede:
  • Determinar o foco;
  • Determinar a diretriz;
  • Traçar (desenhar) o gráfico.
Informações dadas:
  • Equação da parábola: y=-\tfrac{1}{6}x^{2}.
  • Não há termos em x nem constantes somadas; portanto o vértice fica na origem (0,0).

Passo 2

Conceito e fórmula que vou usar (explicação didática):
  • A forma padrão de uma parábola com eixo vertical (vértice em (h,k)) é
(x-h)^{2}=4p(y-k).
Nesse formato:
  • (h,k) é o vértice;
  • p é a distância algébrica do vértice ao foco (positiva se a parábola abre para cima, negativa se abre para baixo);
  • o foco fica em (h,k+p);
  • a diretriz é a reta horizontal y=k-p.
  • No caso especial em que o vértice é a origem (0,0), a forma fica
x^{2}=4p\,y,
com foco (0,p) e diretriz y=-p.
Explicando com palavras: p mede quanto o foco está deslocado do vértice ao longo do eixo de simetria; trocar o sinal de p inverte o sentido de abertura.

Passo 3

Colocar a equação dada na forma padrão:
  • Começo com y=-\tfrac{1}{6}x^{2}.
  • Multiplicando os dois lados por -6 obtemos
x^{2}=-6y.
  • Comparando com x^{2}=4p\,y, temos 4p=-6. Então
p=-\tfrac{6}{4}=-\tfrac{3}{2}.
Observação: p é negativo, então a parábola abre para baixo (isto combina com o sinal negativo em frente a x^{2} na forma inicial).

Passo 4

Calcular foco e diretriz usando p=-\tfrac{3}{2} e vértice (0,0):
  • Foco: (0,k+p)=(0,0+p)=(0,-\tfrac{3}{2}).
  • Diretriz: y=k-p=0-(-\tfrac{3}{2})= \tfrac{3}{2}.
Interpretação simples: o foco está \tfrac{3}{2} unidades abaixo do vértice; a diretriz é a reta horizontal a \tfrac{3}{2} acima do vértice.

Passo 5

Como traçar o gráfico (passo a passo prático, sem calculadora):
  1. Marcar o vértice em (0,0).
  2. Marcar o eixo de simetria: a reta x=0 (o eixo y).
  3. Como a parábola abre para baixo, desenhar uma curva simétrica em torno de x=0 que se abre para valores negativos de y.
  4. Plotar o foco em (0,-\tfrac{3}{2}) — esse ponto fica dentro da curva.
  5. Desenhar a diretriz como a reta horizontal y=\tfrac{3}{2} (acima do vértice).
  6. Traçar alguns pontos para orientar a forma: usando x^{2}=-6y,
    • para y=-\tfrac{3}{2} (a altura do foco) tem x^{2}=-6(-\tfrac{3}{2})=9, logo pontos (\pm3,-\tfrac{3}{2});
    • para y=-6 tem x^{2}=-6(-6)=36, logo pontos (\pm6,-6).
  7. Ligar esses pontos com uma curva suave, simétrica, passando pelo vértice e descendendo para baixo.
Dica visual: o vértice está no ponto médio vertical entre o foco e a diretriz (a \tfrac{3}{2} acima do foco e \tfrac{3}{2} abaixo da diretriz).

Resposta

Foco: (0,-\tfrac{3}{2})
Diretriz: y=\tfrac{3}{2}
Gráfico: vértice em (0,0), abre para baixo, eixo de simetria x=0 (pontos úteis: (\pm3,-\tfrac{3}{2}),(\pm6,-6)).

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