- Determine o foco e a diretriz da parábola
e trace o gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a parábola
e pede:
- Determinar o foco;
- Determinar a diretriz;
- Traçar (desenhar) o gráfico.
Informações dadas:
- Equação da parábola:
. - Não há termos em
nem constantes somadas; portanto o vértice fica na origem .
Passo 2
Conceito e fórmula que vou usar (explicação didática):
- A forma padrão de uma parábola com eixo vertical (vértice em
) é
Nesse formato:
-
é o vértice; -
é a distância algébrica do vértice ao foco (positiva se a parábola abre para cima, negativa se abre para baixo); - o foco fica em
; - a diretriz é a reta horizontal
. - No caso especial em que o vértice é a origem
, a forma fica
com foco
e diretriz
.
Explicando com palavras:
mede quanto o foco está deslocado do vértice ao longo do eixo de simetria; trocar o sinal de
inverte o sentido de abertura.
Passo 3
Colocar a equação dada na forma padrão:
- Começo com
. - Multiplicando os dois lados por
obtemos
- Comparando com
, temos . Então
Observação:
é negativo, então a parábola abre para baixo (isto combina com o sinal negativo em frente a
na forma inicial).
Passo 4
Calcular foco e diretriz usando
e vértice
:
- Foco:
. - Diretriz:
.
Interpretação simples: o foco está
unidades abaixo do vértice; a diretriz é a reta horizontal a
acima do vértice.
Passo 5
Como traçar o gráfico (passo a passo prático, sem calculadora):
- Marcar o vértice em
. - Marcar o eixo de simetria: a reta
(o eixo ). - Como a parábola abre para baixo, desenhar uma curva simétrica em torno de
que se abre para valores negativos de . - Plotar o foco em
— esse ponto fica dentro da curva. - Desenhar a diretriz como a reta horizontal
(acima do vértice). - Traçar alguns pontos para orientar a forma: usando
, - para
(a altura do foco) tem , logo pontos ; - para
tem , logo pontos .
- para
- Ligar esses pontos com uma curva suave, simétrica, passando pelo vértice e descendendo para baixo.
Dica visual: o vértice está no ponto médio vertical entre o foco e a diretriz (a
acima do foco e
abaixo da diretriz).
Resposta
Foco:
Diretriz:
Gráfico: vértice em , abre para baixo, eixo de simetria
(pontos úteis:
).
Diretriz:
Gráfico: vértice em