Resolva a integral:
\int_{0}^{1} \int_{x}^{1} 3 y^{4} \cos \left(x y^{2}\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{x}^{1} 3 y^{4}\cos\!\left(x y^{2}\right)\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • O domínio de integração é o conjunto de pontos (x,y) tais que 0\le x\le1 e x\le y\le1.
  • A função integranda é 3 y^{4}\cos\!\left(x y^{2}\right).
  • A tarefa é calcular o valor numérico da integral dupla.

Passo 2

Entender o domínio de integração e trocar a ordem de integração para simplificar. O domínio descrito por 0\le x\le1 e x\le y\le1 corresponde ao triângulo no plano com vértices (0,0), (0,1) e (1,1), onde y varia entre 0 e 1 e, para um y fixo, x varia de 0 até y.
Como a função 3 y^{4}\cos\!\left(x y^{2}\right) é contínua no conjunto compacto desse triângulo, pode-se aplicar a troca da ordem de integração (teorema de Fubini / Tonelli para integrais de funções contínuas em regiões limitadas). Assim reescrevemos a integral como
\int_{0}^{1}\int_{0}^{y} 3 y^{4}\cos\!\left(x y^{2}\right)\,dx\,dy.

Passo 3

Fazer a integração interna em x. Aqui y é tratado como constante ao integrar em x. Primeiro observe a primitiva básica
\int \cos(a x)\,dx = \frac{1}{a}\sin(a x)\quad(\text{com }a\text{ constante}).
No nosso caso a = y^{2}. Então
\int_{0}^{y} 3 y^{4}\cos\!\left(x y^{2}\right)\,dx = 3 y^{4}\int_{0}^{y}\cos\!\left(x y^{2}\right)\,dx = 3 y^{4}\left[\frac{1}{y^{2}}\sin\!\left(x y^{2}\right)\right]_{x=0}^{x=y}.
Avaliação dos limites:
\left[\frac{1}{y^{2}}\sin\!\left(x y^{2}\right)\right]_{0}^{y} = \frac{1}{y^{2}}\sin\!\left(y\cdot y^{2}\right)-\frac{1}{y^{2}}\sin(0) = \frac{1}{y^{2}}\sin\!\left(y^{3}\right).
Multiplicando por 3 y^{4} resulta
3 y^{4}\cdot\frac{1}{y^{2}}\sin\!\left(y^{3}\right)=3 y^{2}\sin\!\left(y^{3}\right).

Passo 4

Agora a integral dupla reduz-se à integral simples
\int_{0}^{1} 3 y^{2}\sin\!\left(y^{3}\right)\,dy.
Para calcular essa integral usamos a substituição (método da mudança de variável). Defina
u = y^{3}.
Então
du = 3 y^{2}\,dy,
o que é exatamente o fator presente. Troca dos limites: quando y=0 tem-se u=0^{3}=0; quando y=1 tem-se u=1^{3}=1. Assim
\int_{0}^{1} 3 y^{2}\sin\!\left(y^{3}\right)\,dy = \int_{0}^{1}\sin(u)\,du.

Passo 5

Calcular a integral de \sin(u):
\int_{0}^{1}\sin(u)\,du = \bigl[-\cos(u)\bigr]_{0}^{1} = -\cos(1) -\bigl(-\cos(0)\bigr) = -\cos(1)+\cos(0).
Como \cos(0)=1, obtemos o resultado final
1-\cos(1).

Resposta

1-\cos(1)

Exercícios relacionados