Resolva a integral:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
Informações dadas:
- O domínio de integração é o conjunto de pontos
tais que e . - A função integranda é
. - A tarefa é calcular o valor numérico da integral dupla.
Passo 2
Entender o domínio de integração e trocar a ordem de integração para simplificar. O domínio descrito por
e
corresponde ao triângulo no plano com vértices
,
e
, onde
varia entre
e
e, para um
fixo,
varia de
até
.
Como a função
é contínua no conjunto compacto desse triângulo, pode-se aplicar a troca da ordem de integração (teorema de Fubini / Tonelli para integrais de funções contínuas em regiões limitadas). Assim reescrevemos a integral como
Passo 3
Fazer a integração interna em
. Aqui
é tratado como constante ao integrar em
. Primeiro observe a primitiva básica
No nosso caso
. Então
Avaliação dos limites:
Multiplicando por
resulta
Passo 4
Agora a integral dupla reduz-se à integral simples
Para calcular essa integral usamos a substituição (método da mudança de variável). Defina
Então
o que é exatamente o fator presente. Troca dos limites: quando
tem-se
; quando
tem-se
. Assim
Passo 5
Calcular a integral de
:
Como
, obtemos o resultado final