1. Determine a equação da parábola que tem vértice na origem, abertura para a direita e passa pelo ponto P(7 ;-3). Determine, também, as coordenadas do seu foco.

Passo 1

O enunciado dá a parábola com vértice na origem, abertura para a direita, e que passa pelo ponto P(7;-3). As perguntas são:
  • Determinar a equação da parábola.
  • Determinar as coordenadas do foco.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Vértice: (0,0).
  • Abertura para a direita (isso indica que o eixo da parábola é o eixo x e o foco está à direita do vértice).
  • A parábola passa por P(7,-3) (ou seja, o ponto (7,-3) satisfaz a equação da parábola).

Passo 2

Conceito e fórmula-padrão: para uma parábola com vértice na origem e eixo horizontal (abertura para a direita), a forma padrão é
y^{2}=4p\,x,
onde p é a distância do vértice ao foco. Explicando: p>0 quando a abertura é para a direita; o foco está no ponto (p,0) e a diretriz é a reta x=-p. Aqui:
  • y e x são as coordenadas de um ponto genérico da parábola,
  • p é o parâmetro que determina “quão aberta” é a parábola e posiciona o foco.
Breve justificativa da fórmula (intuição): a parábola é o lugar geométrico dos pontos equidistantes do foco (p,0) e da diretriz x=-p. Igualando essas distâncias e simplificando obtém-se y^{2}=4p\,x. (Não é preciso refazer a demonstração completa na prova, mas é útil saber de onde vem a fórmula.)

Passo 3

Usar o ponto dado para encontrar p. Como P(7,-3) pertence à parábola, suas coordenadas satisfazem a equação \,y^{2}=4p\,x. Substituindo x=7 e y=-3:
(-3)^{2}=4p\cdot 7.

Passo 4

Resolver a equação para p. Desenvolvendo os cálculos:
9 = 28p
p = \dfrac{9}{28}.
Explanação: calculei (-3)^2=9. Isolando p dividi ambos os lados por 28.

Passo 5

Escrever a equação final da parábola substituindo p=\dfrac{9}{28} em \,y^{2}=4p\,x:
y^{2}=4\cdot\frac{9}{28}\,x.
Simplificando o coeficiente:
4\cdot\frac{9}{28}=\frac{36}{28}=\frac{9}{7}.
Portanto a equação fica
y^{2}=\frac{9}{7}\,x.

Passo 6

Determinar o foco: para esta forma a coordenada do foco é (p,0). Substituindo o valor encontrado:
\text{foco}=\left(\frac{9}{28},\,0\right).
Para intuição rápida: \dfrac{9}{28}\approx 0,3214 (ou seja, o foco está pouco à direita da origem), e a parábola é relativamente “aberta” porque p é pequeno.

Passo 7

Verificação rápida (checagem útil na prova): ao colocar x=7 na equação encontrada temos
y^{2}=\frac{9}{7}\cdot 7 = 9,
logo y=\pm 3. O ponto P(7,-3) corresponde a y=-3, logo está de fato na parábola — verificação concluída.

Resposta

y^{2}=\dfrac{9}{7}\,x
Foco: \left(\dfrac{9}{28},\,0\right)

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