- Determine a equação da parábola que tem vértice na origem, abertura para a direita e passa pelo ponto
. Determine, também, as coordenadas do seu foco.
Passo 1
O enunciado dá a parábola com vértice na origem, abertura para a direita, e que passa pelo ponto
. As perguntas são:
- Determinar a equação da parábola.
- Determinar as coordenadas do foco.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Vértice:
. - Abertura para a direita (isso indica que o eixo da parábola é o eixo
e o foco está à direita do vértice). - A parábola passa por
(ou seja, o ponto satisfaz a equação da parábola).
Passo 2
Conceito e fórmula-padrão: para uma parábola com vértice na origem e eixo horizontal (abertura para a direita), a forma padrão é
onde
é a distância do vértice ao foco. Explicando:
quando a abertura é para a direita; o foco está no ponto
e a diretriz é a reta
. Aqui:
-
e são as coordenadas de um ponto genérico da parábola, -
é o parâmetro que determina “quão aberta” é a parábola e posiciona o foco.
Breve justificativa da fórmula (intuição): a parábola é o lugar geométrico dos pontos equidistantes do foco
e da diretriz
. Igualando essas distâncias e simplificando obtém-se
. (Não é preciso refazer a demonstração completa na prova, mas é útil saber de onde vem a fórmula.)
Passo 3
Usar o ponto dado para encontrar
. Como
pertence à parábola, suas coordenadas satisfazem a equação
. Substituindo
e
:
Passo 4
Resolver a equação para
. Desenvolvendo os cálculos:
Explanação: calculei
. Isolando
dividi ambos os lados por
.
Passo 5
Escrever a equação final da parábola substituindo
em
:
Simplificando o coeficiente:
Portanto a equação fica
Passo 6
Determinar o foco: para esta forma a coordenada do foco é
. Substituindo o valor encontrado:
Para intuição rápida:
(ou seja, o foco está pouco à direita da origem), e a parábola é relativamente “aberta” porque
é pequeno.
Passo 7
Verificação rápida (checagem útil na prova): ao colocar
na equação encontrada temos
logo
. O ponto
corresponde a
, logo está de fato na parábola — verificação concluída.
Resposta
Foco: