Determine o foco da parábola de equação y^{2}-4 x-14 y+57=0.
Escolha uma opção:
a. F=(-3,-5)
b. F=(3,7)
c. \boldsymbol{F}=(-3,5)
d. F=(7,3)
e. \boldsymbol{F}=(3,5)
f. F=(3,-5)

Passo 1

O enunciado dá a parábola de equação
y^{2} - 4x - 14y + 57 = 0
e pede o foco. O conteúdo é geometria analítica de cônicas: precisamos escrever a equação na forma canônica de uma parábola horizontal
(y - k)^{2} = 4p\, (x - h)
para identificar vértice (h,k) e parâmetro p, de onde o foco é (h+p,\;k).

Passo 2

Agrupamos os termos em y e completamos o quadrado. Começamos isolando x:
y^{2}-14y -4x +57 = 0 \quad\Longrightarrow\quad y^{2}-14y = 4x -57.
Para completar o quadrado em y, somamos e subtraímos 49:
y^{2}-14y +49 = 4x -57 +49 \quad\Longrightarrow\quad (y - 7)^{2} = 4x -8.

Passo 3

Escrevemos em forma canônica:
(y-7)^{2} = 4\,(x-2).
Aqui o vértice é (h,k) = (2,7) e 4p = 4 leva a p=1. Como a parábola é horizontal e abre para a direita, o foco fica em
(h+p,\;k) = (2+1,\;7) = (3,7).

Resposta

(b) F=(3,7)

Exercícios relacionados