Determinar a hipérbole cujo o centro é C=(5,3), um dos vértices do eixo real é D=(6,3) e a distância focal é 4 .
a. -3 x^{2}+y^{2}+30 x-8 y-56=0
b. x^{2}-3 y^{2}-8 x+24 y-29=0
c. -3 x^{2}+y^{2}+30 x-6 y-63=0
d. x^{2}-3 y^{2}-10 x+24 y-20=0
e. x^{2}-3 y^{2}-10 x+18 y+1=0
f. x^{2}-3 y^{2}-8 x+18 y-8=0

Passo 1

O enunciado pede a equação da hipérbole cujo centro é C=(5,3), um vértice do eixo real é D=(6,3) e a distância focal total é 4. O conteúdo envolvido é a geometria analítica da hipérbole: identificamos o semi-eixo real a, o semi-eixo imaginário b e o semi-distância focal c, e depois escrevemos a equação canônica e a transformamos na forma geral.

Passo 2

Como o vértice D tem a mesma ordenada do centro, o eixo real é horizontal. A distância do centro ao vértice dá
a = |6 - 5| = 1.
A distância focal total é 4, então cada semi-distância focal vale
c = \frac{4}{2} = 2.

Passo 3

Na hipérbole de eixo real horizontal satisfaz-se
c^2 = a^2 + b^2.
Substituindo c=2 e a=1 vem
4 = 1 + b^2,
logo
b^2 = 3.

Passo 4

A forma canônica é
\frac{(x-5)^2}{1} \;-\;\frac{(y-3)^2}{3} \;=\;1.
Multiplicando por 3 resulta
3(x-5)^2 - (y-3)^2 = 3.
Expandindo e reunindo em um só lado:
3x^2 -30x +75 \;-\;y^2 +6y -9 \;-\;3 = 0
3x^2 - y^2 -30x +6y +63 = 0.
Multiplicando por -1 para comparar com as alternativas, obtemos
-3x^2 + y^2 +30x -6y -63 = 0.

Resposta

c

Exercícios relacionados