Se \lambda=0 é autovalor de uma matriz quadrada A, então é válido afirmar que:
(A) A solução do sistema A X=0 é trivial.
(B) \operatorname{det}(A)=0
(C) \operatorname{det}(A) \neq 0
(D) A solução do sistema A X=B é única.
(E) N.D.A.

Passo 1

O enunciado diz que \lambda=0 é autovalor de uma matriz quadrada A. Preciso escolher qual das alternativas abaixo é válida:
(A) A solução do sistema A X=0 é trivial.
(B) \operatorname{det}(A)=0
(C) \operatorname{det}(A) \neq 0
(D) A solução do sistema A X=B é única.
(E) N.D.A.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A é uma matriz quadrada (digamos de ordem n).
  • \lambda=0 é autovalor de A, ou seja, existe um vetor próprio não nulo associado a \lambda=0.

Passo 2

Definição de autovalor (explicando calmamente): dizer que \lambda é autovalor de A significa que existe um vetor não nulo v tal que
A v = \lambda v.
Aplicando essa definição ao caso \lambda=0, obtemos
A v = 0,
com v\neq 0. Ou seja, existe um vetor não nulo que é enviado ao vetor nulo por A.

Passo 3

Consequência imediata sobre o sistema homogêneo: a existência de v\neq 0 com A v=0 significa que o núcleo (ou espaço nulo) de A contém vetores não nulos. Em linguagem de sistemas lineares, o sistema homogêneo
A X = 0
tem soluções não triviais (além de X=0). Portanto a afirmativa (A) — “A solução do sistema A X=0 é trivial” — é falsa.
(Pausa didática: “solução trivial” quer dizer apenas X=0. “Solução não trivial” é qualquer X\neq0 que satisfaz A X=0. Quando existe autovalor zero temos soluções não triviais.)

Passo 4

Relação entre autovalores e determinante — duas maneiras de ver:
  • Pelo polinômio característico: o polinômio característico é
p(\lambda)=\det(A-\lambda I).
As raízes de p(\lambda) são os autovalores de A. Em particular,
p(0)=\det(A-0\cdot I)=\det(A).
Se 0 é uma raiz de p, então p(0)=0, logo \det(A)=0.
  • Outra visão, mais direta: existe v\neq0 tal que A v=0. Isso mostra que as colunas de A são linearmente dependentes (pois há combinação linear não-trivial das colunas que dá o vetor nulo), e uma matriz com colunas linearmente dependentes tem determinante zero.
Ambas as visões levam à mesma conclusão: se \lambda=0 é autovalor então
\det(A)=0.

Passo 5

Conclusão sobre as alternativas (parte 1):
  • (B) \operatorname{det}(A)=0 é verdadeira (ver explicação no passo anterior).
  • (C) \operatorname{det}(A)\neq 0 é falsa, pois contradiz (B).

Passo 6

Sobre unicidade da solução de A X=B: lembrar um fato fundamental — o sistema linear A X=B tem solução única para todo B se, e somente se, A for invertível. Uma matriz é invertível exatamente quando \det(A)\neq 0. Aqui já vimos que \det(A)=0, então A não é invertível. Logo não podemos garantir unicidade de solução; dependendo de B podemos ter:
  • infinitas soluções (por exemplo se B estiver no espaço gerado pelas colunas de A e houver graus de liberdade),
  • nenhuma solução (se B não estiver na imagem de A).
Exemplo concreto (para fixar a intuição): tome
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},
aqui 0 é autovalor. Para
B=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}
o sistema A X=B tem infinitas soluções (qualquer vetor da forma (1,t)^\top funciona). Para
B=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}
o sistema não tem solução (pois a segunda equação seria 0=1, impossível). Isso mostra que a afirmativa (D) — “A solução do sistema A X=B é única” — é falsa (não é garantida).]

Passo 7

Recapitulando as alternativas:
  • (A) falsa (existe solução não trivial para A X=0).
  • (B) verdadeira ( \det(A)=0).
  • (C) falsa (contradição com (B)).
  • (D) falsa (não há garantia de solução única quando \det(A)=0).
  • (E) não se aplica porque (B) já é correta.

Resposta

(B)

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