Se
é autovalor de uma matriz quadrada
, então é válido afirmar que:
(A) A solução do sistema
é trivial.
(B)
(C)
(D) A solução do sistema
é única.
(E) N.D.A.
(A) A solução do sistema
(B)
(C)
(D) A solução do sistema
(E) N.D.A.
Passo 1
O enunciado diz que
é autovalor de uma matriz quadrada
. Preciso escolher qual das alternativas abaixo é válida:
(A) A solução do sistema é trivial.
(B)
(C)
(D) A solução do sistema é única.
(E) N.D.A.
(A) A solução do sistema
(B)
(C)
(D) A solução do sistema
(E) N.D.A.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
-
é uma matriz quadrada (digamos de ordem ). -
é autovalor de , ou seja, existe um vetor próprio não nulo associado a .
Passo 2
Definição de autovalor (explicando calmamente): dizer que
é autovalor de
significa que existe um vetor não nulo
tal que
Aplicando essa definição ao caso
, obtemos
com
. Ou seja, existe um vetor não nulo que é enviado ao vetor nulo por
.
Passo 3
Consequência imediata sobre o sistema homogêneo: a existência de
com
significa que o núcleo (ou espaço nulo) de
contém vetores não nulos. Em linguagem de sistemas lineares, o sistema homogêneo
tem soluções não triviais (além de
). Portanto a afirmativa (A) — “A solução do sistema
é trivial” — é falsa.
(Pausa didática: “solução trivial” quer dizer apenas
. “Solução não trivial” é qualquer
que satisfaz
. Quando existe autovalor zero temos soluções não triviais.)
Passo 4
Relação entre autovalores e determinante — duas maneiras de ver:
- Pelo polinômio característico: o polinômio característico é
As raízes de
são os autovalores de
. Em particular,
Se
é uma raiz de
, então
, logo
.
- Outra visão, mais direta: existe
tal que . Isso mostra que as colunas de são linearmente dependentes (pois há combinação linear não-trivial das colunas que dá o vetor nulo), e uma matriz com colunas linearmente dependentes tem determinante zero.
Ambas as visões levam à mesma conclusão: se
é autovalor então
Passo 5
Conclusão sobre as alternativas (parte 1):
- (B)
é verdadeira (ver explicação no passo anterior). - (C)
é falsa, pois contradiz (B).
Passo 6
Sobre unicidade da solução de
: lembrar um fato fundamental — o sistema linear
tem solução única para todo
se, e somente se,
for invertível. Uma matriz é invertível exatamente quando
. Aqui já vimos que
, então
não é invertível. Logo não podemos garantir unicidade de solução; dependendo de
podemos ter:
- infinitas soluções (por exemplo se
estiver no espaço gerado pelas colunas de e houver graus de liberdade), - nenhuma solução (se
não estiver na imagem de ).
Exemplo concreto (para fixar a intuição): tome
aqui
é autovalor. Para
o sistema
tem infinitas soluções (qualquer vetor da forma
funciona). Para
o sistema não tem solução (pois a segunda equação seria
, impossível). Isso mostra que a afirmativa (D) — “A solução do sistema
é única” — é falsa (não é garantida).]
Passo 7
Recapitulando as alternativas:
- (A) falsa (existe solução não trivial para
). - (B) verdadeira (
). - (C) falsa (contradição com (B)).
- (D) falsa (não há garantia de solução única quando
). - (E) não se aplica porque (B) já é correta.
Resposta
(B)