1. Determine os focos e o centro da elipse descrita pelo par de equações paramétricas
lvert, & x=3 cos t & y=4 sen t, 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

O enunciado dá a parametrização
x = 3cos t, y = 4sin t, 0<= t<=2pi
e pede o centro e os focos da elipse. Estamos em Seções Cônicas, mais precisamente Elipse. Para resolver, vamos (i) eliminar o parâmetro e colocar na forma padrão de elipse, (ii) identificar o centro e os semi-eixos a e b, e (iii) calcular a distância focal c satisfazendo c^2 = a^2 - b^2.

Passo 2

Usamos cos t = x/3 e sin t = y/4 e a identidade cos^2t + sin^2t = 1. Assim,
l(x3r)^2 + l(y4r)^2 = 1
Essa é a forma padrão de elipse centrada na origem (0,0). Os semi-eixos são 3 (no eixo x) e 4 (no eixo y).

Passo 3

Comparando os denominadores, vemos que o maior semi-eixo é
a = 4, b = 3
Como a está associado ao eixo y, a elipse é vertical. A distância focal c satisfaz
c^2 = a^2 - b^2 = 4^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7,
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c = raiz7
Os focos, por estarem no eixo maior (eixo y), são
(0,c) = l(0,raiz7r), (0,-c) = l(0,-raiz7r)

Resposta

Centro: (0,0)
Focos: l(0,raiz7r) e l(0,-raiz7r)

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