Encontre a equação, os elementos principais (focos, vértices, excentricidade, centro, eixos e assíntotas) e esboce o gráfico da hipérbole caracterizada por:
Focos e diferença dos raios focais igual a 5 .
Passo 1
O enunciado dá uma hipérbole cujos focos são e e cuja diferença dos raios focais é constante e igual a . O conteúdo usado é a definição da hipérbole como o lugar geométrico dos pontos tais que
Passo 2
Calcular o centro e os parâmetros a e c:
– O centro C é o ponto médio de F1F2:
Cl(h,kr)=l(tfrac2+22,tfrac-7+52r)=(2,-1)
– A distância do centro a cada foco é
c=raiz(2-2)^2+(-7+1)^2=6
– A diferença dos raios focais é 2a=5, logo
a=52
Passo 3
Determinar b e a equação canônica:
– Pela relação c^2=a^2+b^2,
b^2=c^2-a^2=36-254=1194
– Como os focos têm mesma abscissa, o eixo transverso é vertical e a forma canônica é
As assíntotas são retas pelo centro com coeficientes angulares pm tfracab. Como
ab=5/2raiz119/2=5raiz119,
temos
y+1=pm5raiz119,(x-2)
Passo 6
Esboço do gráfico:
O gráfico é formado por dois ramos simétricos em relação a C(2,-1), abrindo-se para cima e para baixo. Os ramos passam pelos vértices (2,,3/2) e (2,,-7/2) e aproximam-se das retas y+1=pm5raiz119(x-2)