Encontre a equação, os elementos principais (focos, vértices, excentricidade, centro, eixos e assíntotas) e esboce o gráfico da hipérbole caracterizada por:
Focos F1(2,-7), F2(2,5) e diferença dos raios focais igual a 5 .

Passo 1

O enunciado dá uma hipérbole cujos focos são F1(2,-7) e F2(2,5) e cuja diferença dos raios focais é constante e igual a 5. O conteúdo usado é a definição da hipérbole como o lugar geométrico dos pontos P tais que
l|,PF2-PF1r|=2a

Passo 2

Calcular o centro e os parâmetros a e c:
– O centro C é o ponto médio de F1F2:
Cl(h,kr)=l(tfrac2+22,tfrac-7+52r)=(2,-1)
– A distância do centro a cada foco é
c=raiz(2-2)^2+(-7+1)^2=6
– A diferença dos raios focais é 2a=5, logo
a=52

Passo 3

Determinar b e a equação canônica:
– Pela relação c^2=a^2+b^2,
b^2=c^2-a^2=36-254=1194
– Como os focos têm mesma abscissa, o eixo transverso é vertical e a forma canônica é
(y-k)^2a^2 ;-;(x-h)^2b^2 ;=;1
Substituindo h=2, k=-1, a^2=tfrac254, b^2=tfrac1194, obtemos
(y+1)^225/4;-;(x-2)^2119/4;=;1

Passo 4

Achar vértices, excentricidade e eixos:
– Vértices: l(2,,-1pm ar)=l(2,-1pm tfrac52r), isto é,
(2,,tfrac32) e (2,-tfrac72).
– Excentricidade:
e=ca=65/2=125
– Eixo transverso: vertical; eixo conjugado: horizontal.

Passo 5

Obter as assíntotas:
As assíntotas são retas pelo centro com coeficientes angulares pm tfracab. Como
ab=5/2raiz119/2=5raiz119,
temos
y+1=pm5raiz119,(x-2)

Passo 6

Esboço do gráfico:
O gráfico é formado por dois ramos simétricos em relação a C(2,-1), abrindo-se para cima e para baixo. Os ramos passam pelos vértices (2,,3/2) e (2,,-7/2) e aproximam-se das retas
y+1=pm5raiz119(x-2)

Resposta

Equação:
(y+1)^2tfrac254;-;(x-2)^2tfrac1194;=;1
Centro: (2,-1)
Focos: F1(2,-7), F2(2,5)
Vértices: (2,,3/2), (2,,-7/2)
Excentricidade: e=12/5
Eixo transverso: vertical; eixo conjugado: horizontal
Assíntotas: y+1=pm5raiz119,(x-2)
Esboço: dois ramos centrais verticais (para cima/baixo) aproximando-se das assíntotas acima.

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