Determine a força elétrica exercida por um disco carregado de raio
, com uma densidade superficial de carga uniforme
, sobre uma carga pontual positiva q localizada no eixo central do disco, a uma distância
do seu centro. Considere o disco como um objeto bidimensional e a carga q alinhada com o eixo de simetria do disco.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente precisa resolver aqui. Temos um exercício de eletrostática que pede para determinar a força elétrica que um disco carregado exerce sobre uma carga pontual. O disco tem raio $ R $ e densidade superficial de carga uniforme $ \sigma $. A carga pontual $ q $ está localizada ao longo do eixo central do disco, a uma distância $ z $ do centro. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de campo elétrico e integração para somar as contribuições de todas as partes do disco na força total sobre a carga $ q $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a força elétrica entre duas cargas é dada pela Lei de Coulomb:
onde $ \vec{E} $ é o campo elétrico gerado pelo disco na posição da carga $ q $. Então, nosso objetivo é encontrar o campo elétrico $ \vec{E} $ no ponto onde a carga $ q $ está localizada.
Passo 3
Para calcular o campo elétrico $ \vec{E} $ devido ao disco, vamos considerar uma pequena anel de raio $ r $ e espessura $ dr $ dentro do disco. A carga nesse anel é:
onde $ dA = 2\pi r dr $ é a área do anel.
Passo 4
O campo elétrico gerado por esse anel na posição da carga $ q $ terá apenas componente na direção do eixo $ z $, porque as componentes radiais se cancelam devido à simetria. A expressão para o campo elétrico de um anel no eixo central é:
Aqui, $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo.
Passo 5
Substituindo $ dQ $ na expressão do campo elétrico, temos:
Passo 6
Para encontrar o campo total $ E $, precisamos integrar $ dE $ de $ r = 0 $ até $ r = R $:
Vamos resolver essa integral.
Passo 7
Fazendo a substituição $ u = z^2 + r^2 $, temos $ du = 2r dr $, ou seja, $ r dr = \frac{du}{2} $. Os limites da integração mudam para $ u(0) = z^2 $ e $ u® = z^2 + R^2 $. A integral fica:
Passo 8
Integrando $ u^{-3/2} $, temos:
Aplicando os limites:
Passo 9
Simplificando a expressão:
Passo 10
Agora que encontramos o campo elétrico $ E $, podemos calcular a força elétrica $ F $ sobre a carga $ q $:
Resposta
A força elétrica exercida pelo disco sobre a carga pontual $ q $ é: