Determine a força elétrica exercida por um disco carregado de raio R, com uma densidade superficial de carga uniforme sigma, sobre uma carga pontual positiva q localizada no eixo central do disco, a uma distância z do seu centro. Considere o disco como um objeto bidimensional e a carga q alinhada com o eixo de simetria do disco.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente precisa resolver aqui. Temos um exercício de eletrostática que pede para determinar a força elétrica que um disco carregado exerce sobre uma carga pontual. O disco tem raio $ R $ e densidade superficial de carga uniforme $ \sigma $. A carga pontual $ q $ está localizada ao longo do eixo central do disco, a uma distância $ z $ do centro. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de campo elétrico e integração para somar as contribuições de todas as partes do disco na força total sobre a carga $ q $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força elétrica entre duas cargas é dada pela Lei de Coulomb:
F = q E
onde $ \vec{E} $ é o campo elétrico gerado pelo disco na posição da carga $ q $. Então, nosso objetivo é encontrar o campo elétrico $ \vec{E} $ no ponto onde a carga $ q $ está localizada.

Passo 3

Para calcular o campo elétrico $ \vec{E} $ devido ao disco, vamos considerar uma pequena anel de raio $ r $ e espessura $ dr $ dentro do disco. A carga nesse anel é:
E
onde $ dA = 2\pi r dr $ é a área do anel.

Passo 4

O campo elétrico gerado por esse anel na posição da carga $ q $ terá apenas componente na direção do eixo $ z $, porque as componentes radiais se cancelam devido à simetria. A expressão para o campo elétrico de um anel no eixo central é:
q
Aqui, $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo.

Passo 5

Substituindo $ dQ $ na expressão do campo elétrico, temos:
dQ

Passo 6

Para encontrar o campo total $ E $, precisamos integrar $ dE $ de $ r = 0 $ até $ r = R $:
E
Vamos resolver essa integral.

Passo 7

Fazendo a substituição $ u = z^2 + r^2 $, temos $ du = 2r dr $, ou seja, $ r dr = \frac{du}{2} $. Os limites da integração mudam para $ u(0) = z^2 $ e $ u® = z^2 + R^2 $. A integral fica:
u = z^2 + r^2

Passo 8

Integrando $ u^{-3/2} $, temos:
u^-3/2
Aplicando os limites:
integral u^-3/2 du = -2 u^-1/2 + C

Passo 9

Simplificando a expressão:
E = sigma z4varepsilon0 cdot 2z ( 1 - zraizz^2 + R^2 ) = sigma2varepsilon0 ( 1 - zraizz^2 + R^2 )

Passo 10

Agora que encontramos o campo elétrico $ E $, podemos calcular a força elétrica $ F $ sobre a carga $ q $:
E

Resposta

A força elétrica exercida pelo disco sobre a carga pontual $ q $ é:
q

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