Como podemos justificar o fato de que o quadrado da função de onda de um elétron é proporcional à probabilidade de deteç̧ão de um elétron na unidade de volume? [Dica: Pense em qual a contribuição que a descrição do experimento de fenda dupla com luz e com partículas para esta discussão.]
Passo 1
O exercício pergunta “por que o quadrado da função de onda de um elétron é proporcional à probabilidade de detecção por unidade de volume?”.
Conteúdo: Mecânica Quântica (interpretação probabilística da função de onda) e Experimento de Fenda Dupla.
O que precisamos:
Conteúdo: Mecânica Quântica (interpretação probabilística da função de onda) e Experimento de Fenda Dupla.
O que precisamos:
- Entender como em ondas clássicas a intensidade é dada pelo quadrado da amplitude.
- Ver que, em elétrons, o padrão de detecção no experimento de duplas fendas segue a mesma lei.
- Apresentar a Regra de Born que estabelece
.
Passo 2
Vamos começar lembrando das ondas clássicas (por exemplo, luz):
- Se o campo elétrico é
, a intensidade (energia por área) detectada é - Isso acontece porque
pode ter fase e sinais (positivo/negativo), mas só faz sentido medir energia, que é sempre positivo, daí o valor absoluto ao quadrado.
Passo 3
No experimento de fenda dupla com luz:
- Cada fenda emite ondas cujo
-campo interfere e, na tela, o padrão de franjas claras e escuras segue - É justamente essa interferência que vemos no padrão de franjas.
Passo 4
Agora, com elétrons um a um:
- Cada elétron é detectado como um ponto na tela, mas, à medida que repetimos o experimento, surge um padrão de franjas igual ao da luz.
- Isso sugere que cada elétron “se propaga como onda” e só “colapsa” em um ponto de detecção.
Passo 5
Max Born propôs então a interpretação da função de onda
:
- A quantidade
é a probabilidade de encontrar o elétron no volume ao redor de . - Porque:
- Garante um número real e não-negativo.
- Reproduz o padrão estatístico observado no experimento de dupla fenda.
Passo 6
Concluindo a justificativa:
- Assim como a intensidade de uma onda clássica é dada por
, a “intensidade de onda quântica” (isto é, a probabilidade de detecção) é . - O sucesso da previsão do padrão de interferência de elétrons confirma empiricamente essa escolha.
Resposta
O quadrado da função de onda
é proporcional à probabilidade de detectar um elétron na unidade de volume porque:
- Em ondas clássicas, a intensidade (algo mensurável e sempre positivo) é proporcional ao quadrado da amplitude.
- No experimento de dupla fenda com elétrons, a estatística de detecção forma um padrão de interferência idêntico ao da luz.
- A Regra de Born formaliza isso, definindo
como densidade de probabilidade, garantindo consistência matemática e concordância com os resultados experimentais.