Como podemos justificar o fato de que o quadrado da função de onda de um elétron é proporcional à probabilidade de deteç̧ão de um elétron na unidade de volume? [Dica: Pense em qual a contribuição que a descrição do experimento de fenda dupla com luz e com partículas para esta discussão.]

Passo 1

O exercício pergunta “por que o quadrado da função de onda de um elétron é proporcional à probabilidade de detecção por unidade de volume?”.
Conteúdo: Mecânica Quântica (interpretação probabilística da função de onda) e Experimento de Fenda Dupla.
O que precisamos:
  • Entender como em ondas clássicas a intensidade é dada pelo quadrado da amplitude.
  • Ver que, em elétrons, o padrão de detecção no experimento de duplas fendas segue a mesma lei.
  • Apresentar a Regra de Born que estabelece .

Passo 2

Vamos começar lembrando das ondas clássicas (por exemplo, luz):
  • Se o campo elétrico é I(x)propto |E(x)|^2, a intensidade (energia por área) detectada é
  • Isso acontece porque pode ter fase e sinais (positivo/negativo), mas só faz sentido medir energia, que é sempre positivo, daí o valor absoluto ao quadrado.

Passo 3

No experimento de fenda dupla com luz:
  • Cada fenda emite ondas cujo I(x)propto |E1(x)+E2(x)|^2-campo interfere e, na tela, o padrão de franjas claras e escuras segue
  • É justamente essa interferência que vemos no padrão de franjas.

Passo 4

Agora, com elétrons um a um:
  • Cada elétron é detectado como um ponto na tela, mas, à medida que repetimos o experimento, surge um padrão de franjas igual ao da luz.
  • Isso sugere que cada elétron “se propaga como onda” e só “colapsa” em um ponto de detecção.

Passo 5

Max Born propôs então a interpretação da função de onda P( r),dV = |psi( r,t)|^2,dV:
  • A quantidade é a probabilidade de encontrar o elétron no volume ao redor de .
  • Porque:
    1. Garante um número real e não-negativo.
    2. Reproduz o padrão estatístico observado no experimento de dupla fenda.

Passo 6

Concluindo a justificativa:
  • Assim como a intensidade de uma onda clássica é dada por , a “intensidade de onda quântica” (isto é, a probabilidade de detecção) é .
  • O sucesso da previsão do padrão de interferência de elétrons confirma empiricamente essa escolha.

Resposta

O quadrado da função de onda P( r)=|psi( r)|^2 é proporcional à probabilidade de detectar um elétron na unidade de volume porque:
  1. Em ondas clássicas, a intensidade (algo mensurável e sempre positivo) é proporcional ao quadrado da amplitude.
  2. No experimento de dupla fenda com elétrons, a estatística de detecção forma um padrão de interferência idêntico ao da luz.
  3. A Regra de Born formaliza isso, definindo
como densidade de probabilidade, garantindo consistência matemática e concordância com os resultados experimentais.

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