Determine uma forma adequada para
se for utilizado o método dos coeficientes indeterminados. Não calcule as constantes.
11.
11.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de terceira ordem não-homogênea
com condições iniciais
,
,
.
A pergunta pede: determine uma forma adequada para se for utilizado o método dos coeficientes indeterminados, sem calcular as constantes.
Informações relevantes: o termo não-homogêneo é a soma de uma função polinomial (grau
) e de uma exponencial
.
A pergunta pede: determine uma forma adequada para
Informações relevantes: o termo não-homogêneo é a soma de uma função polinomial
Passo 2
Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada (apenas para detectar ressonâncias). Escrevemos o polinômio característico da parte homogênea:
Fatoramos o quadrado:
Portanto as raízes são
,
e
, cada uma de multiplicidade
. Isso significa que as soluções fundamentais da homogênea são
(constante),
e
.
Passo 3
Regra prática do método dos coeficientes indeterminados (explicação didática):
- Para cada termo do segundo membro da forma
, onde é um polinômio de grau , o candidato a particular tem a forma
onde
é um polinômio de grau
com coeficientes indeterminados e
é o multiplicador de ressonância.
- O expoente
é o menor inteiro não negativo tal que NÃO seja raiz da equação característica quando contada com multiplicidade menor que . Em termos práticos: é a multiplicidade da raiz no polinômio característico (se é raiz simples, ; se não é raiz, ). - Exemplo rápido: se o lado direito fosse
e fosse raiz dupla do característico, então tentaríamos — isto é, multiplicar por com .
Passo 4
Aplicamos a regra ao termo polinomial
(que é
com
, grau
, e
). Vimos no Passo 2 que
é raiz do característico com multiplicidade
. Assim tomamos
. O polinômio candidato
tem grau
, então
. Multiplicando por
obtemos o candidato para a parte polinomial:
onde
e
são constantes indeterminadas. Observe que não incluímos termo constante isolado porque a multiplicação por
anulou a possibilidade de termo degenerado; se
não fosse raiz, teríamos tentado
sem multiplicar por
.
Passo 5
Agora aplicamos a regra ao termo exponencial
. Aqui
é de grau
(constante),
, e
. Como
é raiz simples do polinômio característico, temos
. Então o polinômio candidato
tem grau
, isto é
. Multiplicando por
e por
obtemos
onde
é constante indeterminada. Note que não usamos simplesmente
porque
é solução da homogênea; por isso subimos o fator
(ressonância).
Passo 6
A solução particular
procurada pelo método dos coeficientes indeterminados é a soma das contribuições dos termos não-homogêneos:
com
constantes que devem ser determinadas substituindo
na equação diferencial (mas aqui, conforme pedido, não as calculamos).
Comentário extra de reforço: se o termo não-homogêneo tivesse sido, por exemplo, uma constante
(grau
) e
NÃO fosse raiz, bastaria tentar
(constante). Se
fosse raiz simples, multiplicaríamos por
e tentaríamos
, etc.