Determine uma forma adequada para Y(t) se for utilizado o método dos coeficientes indeterminados. Não calcule as constantes.
11. y^{\prime \prime \prime}-3 y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}=t+e^{t} ; \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=-\frac{1}{4}, \quad y^{\prime \prime}(0)=-\frac{3}{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de terceira ordem não-homogênea
y^{\prime\prime\prime}-3y^{\prime\prime}+2y^{\prime}=t+e^{t},
com condições iniciais y(0)=1, y'(0)=-\tfrac{1}{4}, y''(0)=-\tfrac{3}{2}.
A pergunta pede: determine uma forma adequada para Y(t) se for utilizado o método dos coeficientes indeterminados, sem calcular as constantes.
Informações relevantes: o termo não-homogêneo é a soma de uma função polinomial t (grau 1) e de uma exponencial e^{t}.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada (apenas para detectar ressonâncias). Escrevemos o polinômio característico da parte homogênea:
r^{3}-3r^{2}+2r = r(r^{2}-3r+2).
Fatoramos o quadrado:
r^{2}-3r+2=(r-1)(r-2).
Portanto as raízes são r=0, r=1 e r=2, cada uma de multiplicidade 1. Isso significa que as soluções fundamentais da homogênea são 1 (constante), e^{t} e e^{2t}.

Passo 3

Regra prática do método dos coeficientes indeterminados (explicação didática):
  • Para cada termo do segundo membro da forma P(t)e^{\alpha t}, onde P(t) é um polinômio de grau m, o candidato a particular tem a forma
t^{s} Q(t) e^{\alpha t},
onde Q(t) é um polinômio de grau m com coeficientes indeterminados e s é o multiplicador de ressonância.
  • O expoente s é o menor inteiro não negativo tal que \alpha NÃO seja raiz da equação característica quando contada com multiplicidade menor que s. Em termos práticos: s é a multiplicidade da raiz \alpha no polinômio característico (se \alpha é raiz simples, s=1; se \alpha não é raiz, s=0).
  • Exemplo rápido: se o lado direito fosse t^{2}e^{3t} e r=3 fosse raiz dupla do característico, então tentaríamos t^{2}\cdot t^{2}(At^{2}+Bt+C)e^{3t}=t^{4}(At^{2}+Bt+C)e^{3t} — isto é, multiplicar por t^{s} com s=2.

Passo 4

Aplicamos a regra ao termo polinomial t (que é P(t)e^{0\cdot t} com P(t)=t, grau m=1, e \alpha=0). Vimos no Passo 2 que r=0 é raiz do característico com multiplicidade 1. Assim tomamos s=1. O polinômio candidato Q(t) tem grau 1, então Q(t)=A t + B. Multiplicando por t^{s}=t obtemos o candidato para a parte polinomial:
Y_{1}(t)=t\,(A t + B)=A t^{2} + B t,
onde A e B são constantes indeterminadas. Observe que não incluímos termo constante isolado porque a multiplicação por t anulou a possibilidade de termo degenerado; se r=0 não fosse raiz, teríamos tentado At+B sem multiplicar por t.

Passo 5

Agora aplicamos a regra ao termo exponencial e^{t}. Aqui P(t) é de grau 0 (constante), m=0, e \alpha=1. Como r=1 é raiz simples do polinômio característico, temos s=1. Então o polinômio candidato Q(t) tem grau 0, isto é Q(t)=C. Multiplicando por t^{s} e por e^{t} obtemos
Y_{2}(t)=C\,t\,e^{t},
onde C é constante indeterminada. Note que não usamos simplesmente D e^{t} porque e^{t} é solução da homogênea; por isso subimos o fator t (ressonância).

Passo 6

A solução particular Y(t) procurada pelo método dos coeficientes indeterminados é a soma das contribuições dos termos não-homogêneos:
Y(t)=Y_{1}(t)+Y_{2}(t)=A t^{2} + B t + C t e^{t},
com A,B,C constantes que devem ser determinadas substituindo Y(t) na equação diferencial (mas aqui, conforme pedido, não as calculamos).
Comentário extra de reforço: se o termo não-homogêneo tivesse sido, por exemplo, uma constante k (grau 0) e r=0 NÃO fosse raiz, bastaria tentar Y=k_{1} (constante). Se r=0 fosse raiz simples, multiplicaríamos por t e tentaríamos k_{1}t, etc.

Resposta

Y(t)=A t^{2} + B t + C t e^{t}

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