Use o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial dada.
2.
2.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede a solução geral desta equação. Informações relevantes dadas:
- É uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, não homogênea.
- O termo não homogêneo (lado direito) é
. - Não há outras condições iniciais fornecidas, então precisamos obter a solução geral com constantes arbitrárias.
Passo 2
Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada:
Para resolver a homogênea usamos a hipótese de solução exponencial
. Substituindo obtemos a equação característica
Resolvendo:
Portanto duas soluções independentes da homogênea são
A solução geral da homogênea é então
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora usamos o método da variação dos parâmetros para achar uma solução particular
. A ideia é buscar
onde
e
são funções desconhecidas (não constantes). Para reduzir as equações, impomos a condição auxiliar
e a segunda equação vem de substituir
na equação original e obter
Essas duas equações formam um sistema linear para
e
.
Passo 4
Substituímos
e
que encontramos:
O sistema para
e
fica
Da segunda equação obtemos diretamente
Substituindo na primeira:
portanto
Passo 5
Integramos para obter
e
. Integramos
:
Em variação de parâmetros podemos escolher as constantes de integração iguais a zero (qualquer constante pode ser absorvida na solução homogênea), então tomamos
Agora integramos
:
Fazemos integração por partes: seja
e
. Então
e
. Assim
Novamente escolhemos a constante de integração nula (pode ser absorvida), ficando
Passo 6
Construímos a solução particular
Substituindo:
Simplificando
,
(Fica sempre bom checar:
e
, então
, confirma.)
Passo 7
A solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular:
onde
e
são constantes arbitrárias.