Use o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial dada.
2. y^{\prime \prime}-y^{\prime}=t

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y''-y'=t
e pede a solução geral desta equação. Informações relevantes dadas:
  • É uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, não homogênea.
  • O termo não homogêneo (lado direito) é \,t\,.
  • Não há outras condições iniciais fornecidas, então precisamos obter a solução geral com constantes arbitrárias.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada:
y''-y'=0.
Para resolver a homogênea usamos a hipótese de solução exponencial y=e^{rt}. Substituindo obtemos a equação característica
r^2-r=0.
Resolvendo:
r(r-1)=0 \quad\Rightarrow\quad r=0\\ \text{ou}\\ r=1.
Portanto duas soluções independentes da homogênea são
y_1(t)=1\quad\text{e}\quad y_2(t)=e^{t}.
A solução geral da homogênea é então
y_h(t)=C_1\cdot 1 + C_2 e^{t},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora usamos o método da variação dos parâmetros para achar uma solução particular y_p(t). A ideia é buscar
y_p(t)=u_1(t)y_1(t)+u_2(t)y_2(t),
onde u_1 e u_2 são funções desconhecidas (não constantes). Para reduzir as equações, impomos a condição auxiliar
u_1'(t)y_1(t)+u_2'(t)y_2(t)=0,
e a segunda equação vem de substituir y_p na equação original e obter
u_1'(t)y_1'(t)+u_2'(t)y_2'(t)=\text{termo não homogêneo} = t.ãê
Essas duas equações formam um sistema linear para u_1' e u_2'.

Passo 4

Substituímos y_1 e y_2 que encontramos:
y_1(t)=1,\quad y_1'(t)=0,\qquad y_2(t)=e^{t},\quad y_2'(t)=e^{t}.
O sistema para u_1' e u_2' fica
\begin{cases} u_1'(t)\cdot 1 + u_2'(t)\cdot e^{t} = 0,\\[6pt] u_1'(t)\cdot 0 + u_2'(t)\cdot e^{t} = t. \end{cases}
Da segunda equação obtemos diretamente
u_2'(t)=t e^{-t}.
Substituindo na primeira:
u_1'(t)+u_2'(t)e^{t}=0 \quad\Rightarrow\quad u_1'(t)+\big(t e^{-t}\big)e^{t}=0,
portanto
u_1'(t)+t=0 \quad\Rightarrow\quad u_1'(t)=-t.]

Passo 5

Integramos para obter u_1 e u_2. Integramos u_1':
u_1(t)=\int -t\,dt = -\frac{t^{2}}{2} + C_{1}^{*}.
Em variação de parâmetros podemos escolher as constantes de integração iguais a zero (qualquer constante pode ser absorvida na solução homogênea), então tomamos
u_1(t)=-\frac{t^{2}}{2}.
Agora integramos u_2':
u_2(t)=\int t e^{-t}\,dt.
Fazemos integração por partes: seja a=t e db=e^{-t}dt. Então da=dt e b=-e^{-t}. Assim
\int t e^{-t}dt = -t e^{-t} - \int (-e^{-t})\,dt = -t e^{-t} - e^{-t} + C_{2}^{*}.
Novamente escolhemos a constante de integração nula (pode ser absorvida), ficando
u_2(t)=-(t+1)e^{-t}.

Passo 6

Construímos a solução particular
y_p(t)=u_1(t)y_1(t)+u_2(t)y_2(t).
Substituindo:
y_p(t)=\Big(-\frac{t^{2}}{2}\Big)\cdot 1 + \Big(-(t+1)e^{-t}\Big)\cdot e^{t}.
Simplificando e^{-t}e^{t}=1,
y_p(t)=-\frac{t^{2}}{2}-(t+1)=-\frac{t^{2}}{2}-t-1.
(Fica sempre bom checar: y_p'=-t-1 e y_p''=-1, então y_p''-y_p'=-1-(-t-1)=t, confirma.)

Passo 7

A solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=y_h(t)+y_p(t)=C_1 + C_2 e^{t} -\frac{t^{2}}{2}-t-1,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(t)=C_1 + C_2 e^{t} -\frac{t^{2}}{2}-t-1

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