Determine uma forma adequada para Y(t) se for utilizado o método dos coeficientes indeterminados. Não calcule as constantes.
y^{(4)}+2 y^{\prime \prime \prime}+2 y^{\prime \prime}=3 e^{t}+2 t e^{-t}+e^{-t} \operatorname{sen} t

Passo 1

O problema pede: determinar uma forma adequada para Y(t) — isto é, um palpite (ansatz) para a solução particular — se for usado o método dos coeficientes indeterminados. Não calcular as constantes.
Dados relevantes do enunciado:
y^{(4)}+2 y^{\prime \prime \prime}+2 y^{\prime \prime}=3 e^{t}+2 t e^{-t}+e^{-t}\sin t.
Os termos independentes (forçantes) são 3 e^{t}, 2 t e^{-t} e e^{-t}\sin t.

Passo 2

Vamos olhar a equação homogênea associada (para saber se há ressonância):
r^{4}+2r^{3}+2r^{2}=0.
Fatorando:
r^{2}(r^{2}+2r+2)=r^{2}\big((r+1)^{2}+1\big).
Logo as raízes são r=0 com multiplicidade 2 e r=-1\pm i (cada uma simples). Isso implica que a solução homogênea tem a forma real
y_h=C_{1}+C_{2}t+e^{-t}\big(C_{3}\cos t+C_{4}\sin t\big).

Passo 3

Relembrando o método dos coeficientes indeterminados (de forma prática): para cada termo da forçante do tipo
  • P_m(t)e^{\alpha t} (polinômio vezes exponencial), escolhemos um ansatz da forma \tilde P_m(t)e^{\alpha t} com \tilde P_m polinômio de mesmo grau m;
  • para termos do tipo e^{\alpha t}(\text{polinômio})\cos(\beta t)ô ou e^{\alpha t}(\text{polinômio})\sin(\beta t)ô, escolhemos ansatz e^{\alpha t}\big(\tilde P(t)\cos(\beta t)+\tilde Q(t)\sin(\beta t)\big) com \tilde P,\tilde Q polinômios do grau apropriado.
    Se o expoente complexo \alpha (ou \alpha\pm i\beta) for raiz do polinômio característico com multiplicidade s, multiplicamos o ansatz por t^{s} (para eliminar a ressonância).

Passo 4

Aplicando ao primeiro termo da forçante 3e^{t}: aqui \alpha=1. Verificamos se r=1 é raiz do característico; pelas raízes encontradas não é (não está entre 0 ou -1\pm i). Portanto não há ressonância e um ansatz adequado é um múltiplo constante de e^{t}. Assim tomamos
Y_{1}(t)=A e^{t},
onde A é constante indeterminada.

Passo 5

Aplicando ao segundo termo 2t e^{-t}: este é P_{1}(t)e^{-t} com polinômio de grau 1 (coeficiente de t). Aqui \alpha=-1. O valor r=-1 não é raiz real do característico (as raízes complexas são -1\pm i, mas r=-1 sozinho não anula o polinômio característico), portanto não há ressonância para esse termo. Então tomamos um polinômio de grau 1 multiplicando e^{-t}:
Y_{2}(t)=(B t + C)e^{-t},
com B,C constantes indeterminadas.

Passo 6

Aplicando ao terceiro termo e^{-t}\sin t: esse termo corresponde ao caso e^{\alpha t}\sin(\beta t) com \alpha=-1 e \beta=1, ou seja ao expoente complexo \alpha+i\beta=-1+i. Esse número é exatamente uma raiz do polinômio característico (a raiz -1+i), de multiplicidade 1. Logo há ressonância de ordem s=1, e devemos multiplicar o ansatz padrão por t^{1}. O ansatz padrão (grau zero nas polinômios) seria
e^{-t}\big(D\cos t + E\sin t\big),
e, por causa da ressonância, multiplicamos por t, ficando
Y_{3}(t)=t e^{-t}\big(D\cos t + E\sin t\big),
com D,E constantes indeterminadas.

Passo 7

Somando os palpites particulares para cada termo obtemos um ansatz global para a solução particular Y(t):
Y(t)=A e^{t} + (B t + C)e^{-t} + t e^{-t}\big(D\cos t + E\sin t\big),
onde A,B,C,D,E são constantes indeterminadas que seriam encontradas resolvendo o sistema resultante (mas, conforme pedido, não as calculamos).

Resposta

Y(t)=A e^{t} + (B t + C)e^{-t} + t e^{-t}\big(D\cos t + E\sin t\big)

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