Determine uma forma adequada para
se for utilizado o método dos coeficientes indeterminados. Não calcule as constantes.
Passo 1
O problema pede: determinar uma forma adequada para
— isto é, um palpite (ansatz) para a solução particular — se for usado o método dos coeficientes indeterminados. Não calcular as constantes.
Dados relevantes do enunciado:
Dados relevantes do enunciado:
Os termos independentes (forçantes) são
,
e
.
Passo 2
Vamos olhar a equação homogênea associada (para saber se há ressonância):
Fatorando:
Logo as raízes são
com multiplicidade
e
(cada uma simples). Isso implica que a solução homogênea tem a forma real
Passo 3
Relembrando o método dos coeficientes indeterminados (de forma prática): para cada termo da forçante do tipo
-
(polinômio vezes exponencial), escolhemos um ansatz da forma com polinômio de mesmo grau ; - para termos do tipo
ou , escolhemos ansatz com polinômios do grau apropriado.
Se o expoente complexo(ou ) for raiz do polinômio característico com multiplicidade , multiplicamos o ansatz por (para eliminar a ressonância).
Passo 4
Aplicando ao primeiro termo da forçante
: aqui
. Verificamos se
é raiz do característico; pelas raízes encontradas não é (não está entre
ou
). Portanto não há ressonância e um ansatz adequado é um múltiplo constante de
. Assim tomamos
onde
é constante indeterminada.
Passo 5
Aplicando ao segundo termo
: este é
com polinômio de grau
(coeficiente de
). Aqui
. O valor
não é raiz real do característico (as raízes complexas são
, mas
sozinho não anula o polinômio característico), portanto não há ressonância para esse termo. Então tomamos um polinômio de grau
multiplicando
:
com
constantes indeterminadas.
Passo 6
Aplicando ao terceiro termo
: esse termo corresponde ao caso
com
e
, ou seja ao expoente complexo
. Esse número é exatamente uma raiz do polinômio característico (a raiz
), de multiplicidade
. Logo há ressonância de ordem
, e devemos multiplicar o ansatz padrão por
. O ansatz padrão (grau zero nas polinômios) seria
e, por causa da ressonância, multiplicamos por
, ficando
com
constantes indeterminadas.
Passo 7
Somando os palpites particulares para cada termo obtemos um ansatz global para a solução particular
:
onde
são constantes indeterminadas que seriam encontradas resolvendo o sistema resultante (mas, conforme pedido, não as calculamos).