Determine a forma apropriada para uma solução particular da equação de quinta ordem
(D-2)^3(D^2+9) y=x^2 e^2 x+x sen 3 x

Passo 1

O enunciado pede a forma de uma solução particular yp para a equação linear com operador
(D-2)^3(D^2+9),y = x^2e^2x ;+; xsin3x
Aqui usamos o método dos coeficientes a determinar. Note que o polinômio característico tem raiz r=2 de multiplicidade 3 e raízes complexas pm3i (cada uma de multiplicidade 1). Como o segundo membro é soma de duas funções independentes, tomamos yp=yp1+yp2, onde cada parcela trata de um dos termos do lado direito.

Passo 2

Para o termo x^2e^2x: se não houvesse ressonância, bastaria um ansatz e^2x(A x^2+B x+C). Mas como r=2 é raiz de ordem 3, multiplicamos por x^3. Logo
yp1(x)=x^3e^2xl(Ax^2+Bx+Cr)

Passo 3

Para o termo xsin3x: sem ressonância usaríamos (Dx+E)cos3x+(Fx+G)sin3x. Mas como pm3i são raízes simples, multiplicamos tudo por x. Assim
yp2(x) = xl[(D x+E)cos3x+(F x+G)sin3xr]

Resposta

A forma apropriada para a solução particular é
yp(x) = x^3e^2xl(Ax^2+Bx+Cr) ;+; xl[(D x+E)cos3x+(F x+G)sin3xr],
onde A,B,C,D,E,F,G são constantes a determinar.

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