Calcule os limites
lim x +infty ln (1+1x) ln (x)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto+inftylnl(1+tfrac1xr),ln(x)
O conteúdo aqui é cálculo de limites com forma indeterminada 0cdotinfty. Vamos usar o equivalente de ln(1+u) para uto0 e também conhecer o limite de ln x/x.

Passo 2

Observamos que, à medida que xto+infty,
lnl(1+tfrac1xr)to0 e ln(x)to+infty,
logo temos a forma indeterminada 0cdotinfty. Para resolver, fazemos u=tfrac1x, de modo que uto0^+ e x=1/u.

Passo 3

Em termos de u,
lnl(1+tfrac1xr),ln(x) =ln(1+u),lnl(tfrac1ur) =-ln(1+u),ln(u)
Para uto0^+, usamos o equivalente
ln(1+u)sim u,
de modo que
-ln(1+u),ln(u) sim -u,ln(u)

Passo 4

É sabido que
limuto0^+u,ln(u)=0
porque u tende a zero muito mais rápido que ln(u) tende a -infty. Logo
limxto+inftylnl(1+tfrac1xr),ln(x) =limuto0^+l[-u,ln(u)r] =0

Resposta

0

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