Determine a forma apropriada da solução particular yp para se utilizar o método dos coeficientes a determinar. Não calcule as constantes.
y^(4)+2 y^prime prime prime+2 y^prime prime=3 e^x+e^-x sen x

Passo 1

O enunciado pede apenas a forma da solução particular yp pelo método dos coeficientes a determinar para a EDO
y^(4) + 2y^primeprimeprime + 2y^primeprime ;=; 3e^x ;+; e^-xsin x
O conteúdo aqui é o método dos coeficientes a determinar: identificamos cada termo no segundo membro, verificamos se há ressonância com as raízes da equação característica da parte homogênea e montamos o “chute” multiplicado por potências de x em caso de ressonância.

Passo 2

Escrevemos a equação característica da parte homogênea:
r^4 + 2r^3 + 2r^2 = r^2l(r^2 + 2r + 2r) = 0
Dessa fatoração vêm as raízes
r = 0 (mu<iplicidade 2), r = -1 pm i (mu<iplicidade 1 cada)

Passo 3

Para o termo 3e^x no lado direito, associamos r=1. Como r=1 não é raiz da característica, não há ressonância. Então o chute para essa parte é
yp1 = A,e^x

Passo 4

Para o termo e^-xsin x interpretamos como parte imaginária de e^(-1 + i)x, ou seja, associada à raiz r=-1pm i. Essa raiz aparece uma vez na característica, logo há ressonância de ordem s=1. Multiplicamos por x o chute padrão
e^-xl(Bcos x + Csin xr),
ficando
yp2 = x,e^-xl(Bcos x + Csin xr)

Resposta

A forma geral da solução particular é
boxedyp(x) = A,e^x ;+; x,e^-xl(Bcos x + Csin xr),
onde A, B e C são constantes a determinar.

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