Determine a forma apropriada da solução particular yp para se utilizar o método dos coeficientes a determinar. Não calcule as constantes.
y^(4)+4 y^prime prime prime=sen(2 x)+x e^x+4

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
y^(4) + 4y^primeprimeprime = sin(2x) + x e^x + 4
e pede apenas a forma da solução particular yp para aplicar o método dos coeficientes a determinar. O conteúdo usado é o de força não-homogênea por termos senoidais, exponenciais e polinomiais, respeitando possíveis ressonâncias com a solução homogênea.

Passo 2

Vamos achar a solução homogênea associada para identificar ressonâncias. A equação característica é
r^4 + 4r^3 = r^3(r+4) = 0,
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r=0 com multiplicidade 3,
r=-4 simples.
Isto implica que a parte homogênea tem termos 1, x, x^2 (das raízes nulas) e e^-4x.

Passo 3

Para o termo sin(2x), o palpite usual é
yp1 = Acos(2x) + Bsin(2x),
e como pm 2i não são raízes da característica, não há fator adicional de x.

Passo 4

Para o termo x e^x, tentamos
yp2 = (C x + D)e^x
Como r=1 não anula a característica, não multiplicamos por potência extra de x.

Passo 5

Para o termo constante 4, o palpite polinomial de grau 0 seria E. Mas como r=0 é raiz de multiplicidade 3, multiplicamos por x^3. Então
yp3 = F,x^3

Resposta

Somando tudo, a forma apropriada de yp é
yp(x) = Acos(2x) + Bsin(2x) + (C x + D)e^x + F,x^3,
com A,B,C,D,F constantes a determinar.

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