Interpretação de soluções
Suponha que a solução da equação da onda para uma corda fixa em ambas as extremidades seja:
Descreva qualitativamente o comportamento da corda ao longo do tempo.
Passo 1
O enunciado nos dá a solução
da equação da onda numa corda fixa em
e
. O conteúdo aqui é modos normais de vibração (separação de variáveis) e queremos entender qualitativamente como a forma da corda evolui no tempo.
Passo 2
A parte espacial
mostra que em
e em
temos sempre
(os nós fixos) e o máximo de deslocamento (antinode) ocorre em
. Esse é o modo fundamental, com exatamente um máximo na corda.
Passo 3
A parte temporal
é uma oscilação harmônica pura, que varia entre
e
. O periodo dessa oscilação vem de
mas um ciclo completo de
corresponde a
, logo o período é
Passo 4
Juntando espaço e tempo, em momentos especiais temos:
e depois disso esse ciclo se repete.
Passo 5
Em termos práticos, a corda vibra no seu modo fundamental: ela parte de uma forma em “S” suave, vai passando plana, depois adota a forma em “S” invertida, retorna plana e repete. Os pontos finais ficam sempre em
, o ponto médio atinge a maior excursão e a energia vai alternando entre energia potencial (corda deformada) e cinética (quando ela passa pela posição
).
Resposta
A corda vibra no seu modo fundamental, com nós fixos em
e
e antinode em
. Inicialmente ela está na forma
, depois passa por
em
, adota a forma invertida em
e repete esse ciclo de período
.