Interpretação de soluções
Suponha que a solução da equação da onda para uma corda fixa em ambas as extremidades seja:
u(x, t)=sin (pi xL) cos (pi c tL)
Descreva qualitativamente o comportamento da corda ao longo do tempo.

Passo 1

O enunciado nos dá a solução
u(x,t)=sin!l(tfracpi xLr),cos!l(tfracpi c,tLr)
da equação da onda numa corda fixa em x=0 e x=L. O conteúdo aqui é modos normais de vibração (separação de variáveis) e queremos entender qualitativamente como a forma da corda evolui no tempo.

Passo 2

A parte espacial sin(tfracpi xL) mostra que em x=0 e em x=L temos sempre u=0 (os nós fixos) e o máximo de deslocamento (antinode) ocorre em x=L/2. Esse é o modo fundamental, com exatamente um máximo na corda.

Passo 3

A parte temporal cos(tfracpi c,tL) é uma oscilação harmônica pura, que varia entre +1 e -1. O periodo dessa oscilação vem de
pi c,tL = pi Longrightarrow t=Lc,,
mas um ciclo completo de cos corresponde a 2pi, logo o período é
T = 2Lc,

Passo 4

Juntando espaço e tempo, em momentos especiais temos:
t=0: u(x,0)=sin!l(tfracpi xLr)(corda na forma positiva),
t=tfracT4: ul(x,tfracT4r)=sin!l(tfracpi xLr)cos!l(tfracpi2r)=0(corda alinhada ao eixo, sem curvatura),
t=tfracT2: ul(x,tfracT2r)=sin!l(tfracpi xLr)cos(pi)=-sin!l(tfracpi xLr)(forma invertida),
e depois disso esse ciclo se repete.

Passo 5

Em termos práticos, a corda vibra no seu modo fundamental: ela parte de uma forma em “S” suave, vai passando plana, depois adota a forma em “S” invertida, retorna plana e repete. Os pontos finais ficam sempre em u=0, o ponto médio atinge a maior excursão e a energia vai alternando entre energia potencial (corda deformada) e cinética (quando ela passa pela posição u=0).

Resposta

A corda vibra no seu modo fundamental, com nós fixos em x=0 e x=L e antinode em x=L/2. Inicialmente ela está na forma sin(pi x/L), depois passa por u=0 em t=T/4, adota a forma invertida em t=T/2 e repete esse ciclo de período T=2L/c.

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