Determine a forma apropuiada da solução particular Ip para se utilezar o método dos cofficientes a determinar náo calcule as constantes.
y^prime prime prime-2 y^prime prime+y^prime=x^3+2 e^x
a) y=x(A x^3+B x^2+C x+D)+E x^2 e^x

Passo 1

O enunciado pede a forma da solução particular para a equação
y''' - 2y'' + y' = x^3 + 2e^x
usando o método dos coeficientes a determinar (sem calcular as constantes). O conteúdo é o método de coeficientes a determinar para equações lineares com termos polinomiais e exponenciais.

Passo 2

Escrevemos a equação característica da parte homogênea:
r^3 - 2r^2 + r = r,(r-1)^2 = 0
As raízes são r=0 (multiplicidade 1) e r=1 (multiplicidade 2). Para escolher a forma da solução particular, multiplicamos cada “ansatz” pelo fator x^s, em que s é a multiplicidade da raiz correspondente ao termo do lado direito.

Passo 3

Para o termo polinomial x^3, o grau é 3 e a raiz r=0 aparece na homogênea com multiplicidade 1. Então usamos
yp1=xl(Ax^3+Bx^2+Cx+Dr)

Passo 4

Para o termo exponencial e^x, a raiz r=1 tem multiplicidade 2. O termo é 2e^x, grau 0 em x, então o “ansatz” fica
yp2=E,x^2e^x

Resposta

A forma apropriada da solução particular é
yp = xl(Ax^3+Bx^2+Cx+Dr) + E,x^2e^x

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