Q 112 Derive cada uma das funções abaixo:
f(x)=2 sen(x^2) cos (x+1);

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=2sinl(x^2r),cos(x+1)
Aqui vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia, sabendo que
  • ddxsin(u)=cos(u),u',
  • ddxcos(v)=-sin(v),v'.

Passo 2

Reescrevendo f como produto de funções, isolamos a constante:
f(x)=2;l[u(x),v(x)r],
onde
u(x)=sinl(x^2r), v(x)=cos(x+1)
Pela regra do produto,
ddxl[u,vr]=u',v+u,v'
Portanto
f'(x)=2l(u'(x),v(x)+u(x),v'(x)r)

Passo 3

Agora calculamos u'(x) e v'(x) usando a regra da cadeia:
u(x)=sinl(x^2r) Longrightarrow u'(x)=cosl(x^2r)cdotddxl(x^2r) =2x,cosl(x^2r)
v(x)=cos(x+1) Longrightarrow v'(x)=-sin(x+1)cdotddx(x+1) =-sin(x+1)

Passo 4

Substituindo em
f'(x)=2l(u',v+u,v'r), obtemos
f'(x) =2l(2xcos(x^2)cdotcos(x+1) +sin(x^2)cdotl(-sin(x+1)r)r)
e distribuindo a constante:
f'(x) =4x,cos(x^2),cos(x+1) -2,sin(x^2),sin(x+1)

Resposta

f'(x)=4xcosl(x^2r)cos(x+1)-2sinl(x^2r)sin(x+1)

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