Exercício 13 (S.1.29)
Seja
de classe
. Seja
contínua e Lipschitziana tal que
para todo
. Se
é Lipschtziana e
denota a solução de
que passa por
, prove que
Seja
Passo 1
O enunciado dá uma mudança de variável
de classe
e um campo de vetores
contínuo e Lipschitz em
. Além disso temos a condição de conjugação
para todo
. Denotamos por
a solução de
e queremos mostrar que
A estratégia é aplicar a regra da cadeia para a composição
e usar unicidade de solução do problema de Cauchy.
Passo 2
Definimos a função
Note que
vale
em
, isto é,
Vamos mostrar que
satisfaz a mesma EDO
.
Passo 3
Pela regra da cadeia, como
é
e
é diferenciável, temos
Mas
é solução de
, logo
Então
Passo 4
Agora usamos a hipótese de conjugação
. Tomando
, obtemos
Portanto
com condição inicial
.
Passo 5
Concluímos que
é solução do mesmo problema de Cauchy que
com
. Pela unicidade garantida pelo fato de
ser Lipschitz em
, segue que
Mas
. Logo chegamos ao resultado desejado.