Exercício 13 (S.1.29)
Seja H: R^n R^n de classe C^1. Seja f: R times R^n R^n contínua e Lipschitziana tal que f(t, H(x))=D H(x) f(t, x) para todo (t, x) in R times R^n. Se f é Lipschtziana e varphi(t, t0, x0) denota a solução de x^prime=f(t, x) que passa por (t0, x0), prove que
varphi(t, t0, H(x0))=H(varphi(t, t0, x0))

Passo 1

O enunciado dá uma mudança de variável H:R^ntoR^n de classe C^1 e um campo de vetores f:RtimesR^ntoR^n contínuo e Lipschitz em x. Além disso temos a condição de conjugação
fl(t,,H(x)r) = D H(x)cdot f(t,x),
para todo (t,x). Denotamos por varphi(t,t0,x0) a solução de
x'=f(t,x), varphi(t0,t0,x0)=x0
e queremos mostrar que
varphil(t,t0,H(x0)r) =Hl(varphi(t,t0,x0)r)
A estratégia é aplicar a regra da cadeia para a composição Hcircvarphi e usar unicidade de solução do problema de Cauchy.

Passo 2

Definimos a função
psi(t)=Hl(varphi(t,t0,x0)r)
Note que psi(t) vale H(x0) em t=t0, isto é,
psi(t0)=Hl(varphi(t0,t0,x0)r) =H(x0)
Vamos mostrar que psi satisfaz a mesma EDO x'=f(t,x).

Passo 3

Pela regra da cadeia, como H é C^1 e varphi é diferenciável, temos
psi'(t) =ddtl[Hl(varphi(t,t0,x0)r)r] = D Hl(varphi(t,t0,x0)r)cdot partialpartial tvarphi(t,t0,x0)
Mas varphi é solução de x'=f(t,x), logo
partialpartial tvarphi(t,t0,x0) = fl(t,varphi(t,t0,x0)r)
Então
psi'(t) = D Hl(varphi(t,t0,x0)r)cdot fl(t,varphi(t,t0,x0)r)

Passo 4

Agora usamos a hipótese de conjugação f(t,H(x))=D H(x)cdot f(t,x). Tomando x=varphi(t,t0,x0), obtemos
D Hl(varphi(t,t0,x0)r)cdot fl(t,varphi(t,t0,x0)r) = f!l(t,,H(varphi(t,t0,x0))r) = fl(t,psi(t)r)
Portanto
psi'(t)=fl(t,psi(t)r),
com condição inicial psi(t0)=H(x0).

Passo 5

Concluímos que psi(t) é solução do mesmo problema de Cauchy que varphi(t,t0,y0) com y0=H(x0). Pela unicidade garantida pelo fato de f ser Lipschitz em x, segue que
psi(t) =varphil(t,t0,H(x0)r)
Mas psi(t)=H(varphi(t,t0,x0)). Logo chegamos ao resultado desejado.

Resposta

varphil(t,t0,H(x0)r) =Hl(varphi(t,t0,x0)r)

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