Exercício 11 (S.1.16)
Seja
de classe
e suponhamos que
é solução de
a) É possível que exista
tal que
, mas
?
b) Compare (a) com o exercício 9 .
Seja
uma função contínua tal que
e
é Lipschitziana. Prove que toda solução
(da equação
) está definida para todo
e
.
Seja
b) Compare (a) com o exercício 9 .
Passo 1
O enunciado trata de duas situações envolvendo a unicidade de soluções de EDOs e invariância por translação no tempo.
- EDO autônoma
, , e solução . Pergunta-se:
a) Pode ocorrercom mas ?
b) Compare esse fato com o enunciado do exercício 9. - EDO não-autônoma
, com , contínua e Lipschitz em no cilindro . Deve-se provar que toda solução existe para todo e satisfaz
Passo 2
(a) Suponha que exista
tal que
Defina
Então
e
. Como ambas
e
satisfazem a mesma EDO com a mesma condição inicial em
, pela unicidade segue
isto é,
é periódica de período
. Logo
Portanto não é possível ter
com
.
Passo 3
(b) No exercício 9 demonstrou-se, para uma EDO cuja lei de evolução não depende do tempo (ou é periódica), que a unicidade e a invariância de
sob translação em
implicam propriedades de periodicidade ou de invariância temporal do fluxo. Aqui o argumento é exatamente o mesmo: definimos uma solução deslocada no tempo e aplicamos unicidade para concluir que ela coincide com a original.
Passo 4
Agora consideremos
com
e
Lipschitz em
sobre
. Para provar existência global, note que em cada intervalo
a função
é contínua e Lipschitz em
, portanto a solução se estende sem explosão ao longo de cada intervalo unitário. Repetindo o argumento para
, obtemos
definida em todo
.
Passo 5
Para a invariância de período 1, defina
Então
satisfaz
Mas
também satisfaz a mesma EDO com
. Pela unicidade segue
Resposta
a) Não: se
então a unicidade e a periodicidade induzida pela translação forçam
.
b) O argumento é idêntico ao do exercício 9: usa-se unicidade e invariância de sob translação em
.
Para contínua e Lipschitz em
sobre
, toda solução existe em
e satisfaz
b) O argumento é idêntico ao do exercício 9: usa-se unicidade e invariância de
Para