Exercício 11 (S.1.16)
Seja f: R^n R^n de classe C^1 e suponhamos que varphi: R R^n é solução de
x^prime=f(x), x(t0)=x0
a) É possível que exista t1 neq t0 tal que varphi(t0)=varphi(t1), mas varphi^prime(t0) neq varphi^prime(t1) ?
b) Compare (a) com o exercício 9 .
Seja f: R times R^n R^n uma função contínua tal que f(t, x)=f(t+1, x) e f|[0,1] times R^n é Lipschitziana. Prove que toda solução varphi(t, t0, x0) (da equação x^prime(t)=f(t, x(t)), x(t0)=x0 ) está definida para todo t in R e varphi(t, t0, x0)= varphi(t+1, t0+1, x0).

Passo 1

O enunciado trata de duas situações envolvendo a unicidade de soluções de EDOs e invariância por translação no tempo.
  1. EDO autônoma x'=f(x), fin C^1, e solução varphi: Rto R^n. Pergunta-se:
    a) Pode ocorrer varphi(t1)=varphi(t0) com t1neq t0 mas varphi'(t1)neqvarphi'(t0)?
    b) Compare esse fato com o enunciado do exercício 9.
  2. EDO não-autônoma x'=f(t,x), com f(t+1,x)=f(t,x), contínua e Lipschitz em x no cilindro [0,1]times R^n. Deve-se provar que toda solução varphi(t,t0,x0) existe para todo tin R e satisfaz
varphi(t+1,;t0+1,;x0);=;varphi(t,;t0,;x0),

Passo 2

(a) Suponha que exista Tneq0 tal que
varphi(t0+T)=varphi(t0),
Defina
psi(t)=varphi(t+T),
Então psi'(t)=fl(psi(t)r) e psi(t0)=varphi(t0+T)=varphi(t0). Como ambas psi e varphi satisfazem a mesma EDO com a mesma condição inicial em t0, pela unicidade segue
psi(t)=varphi(t)forall,t,,
isto é, varphi é periódica de período T. Logo
varphi'(t0+T)=fl(varphi(t0+T)r) =fl(varphi(t0)r)=varphi'(t0),
Portanto não é possível ter varphi(t1)=varphi(t0) com varphi'(t1)neqvarphi'(t0).

Passo 3

(b) No exercício 9 demonstrou-se, para uma EDO cuja lei de evolução não depende do tempo (ou é periódica), que a unicidade e a invariância de f sob translação em t implicam propriedades de periodicidade ou de invariância temporal do fluxo. Aqui o argumento é exatamente o mesmo: definimos uma solução deslocada no tempo e aplicamos unicidade para concluir que ela coincide com a original.

Passo 4

Agora consideremos x'=f(t,x) com f(t+1,x)=f(t,x) e f Lipschitz em x sobre [0,1]times R^n. Para provar existência global, note que em cada intervalo [t0+k,;t0+k+1] a função tmapsto f(t,x) é contínua e Lipschitz em x, portanto a solução se estende sem explosão ao longo de cada intervalo unitário. Repetindo o argumento para kin Z, obtemos varphi(t,t0,x0) definida em todo R.

Passo 5

Para a invariância de período 1, defina
psi(t)=varphi(t+1,;t0+1,;x0),
Então psi satisfaz
psi'(t)=fl(t,psi(t)r) e psi(t0)=varphi(t0+1,t0+1,x0)=x0
Mas varphi(t,t0,x0) também satisfaz a mesma EDO com varphi(t0)=x0. Pela unicidade segue
psi(t)=varphi(t,t0,x0) Longrightarrow varphi(t+1,t0+1,x0)=varphi(t,t0,x0),

Resposta

a) Não: se varphi(t1)=varphi(t0) então a unicidade e a periodicidade induzida pela translação forçam varphi'(t1)=varphi'(t0).
b) O argumento é idêntico ao do exercício 9: usa-se unicidade e invariância de f sob translação em t.
Para f(t+1,x)=f(t,x) contínua e Lipschitz em x sobre [0,1]times R^n, toda solução existe em R e satisfaz
varphi(t+1,;t0+1,;x0) =varphi(t,;t0,;x0),

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