Determine a Forma Canónica de Jordan , a base de vectores próprios generalizados e a matriz tal que para as matrizes:
\[A_{1}=\left[\right] ; A_{2}=\left[\right]]
Passo 1
O enunciado pede, para cada matriz , a sua forma canónica de Jordan , uma base de vectores próprios generalizados e a matriz de passagem tal que
Para isso vamos calcular o polinómio característico, as multiplicidades algébrica e geométrica de cada valor próprio, encontrar vectores próprios e, quando necessário, vectores próprios generalizados.
Do polinómio ;-(lambda-1)^2(lambda-2)=0 vem os valores próprios lambda=1 (algébrica 2) e lambda=2 (algébrica 1). Como a dimensão do núcleo de A1-I é 1 (ver passo seguinte), teremos um bloco de Jordan de tamanho 2 para lambda=1 e um bloco 1times 1 para lambda=2. Assim
Do fator (lambda-1)^2(lambda-3)=0 segue lambda=1 (algébrica 2) e lambda=3 (algébrica 1). O núcleo de A2-I é 1-dimensional, logo teremos um bloco 2times 2 para lambda=1 e um 1times 1 para lambda=3. Assim
J2= 1&1&0 0&1&0 0&0&3
Passo 9
Vectores próprios de A2.
1. Para lambda=1 resolvemos (A2-I)x=0, obtendo
x=(x,y,z),;y=0,;z=x,
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v1=(1,0,1)
2. Para lambda=3 resolvemos (A2-3I)u=0, obtendo
u=(0,1,1)
Passo 10
lambda=1 tem defeito 1, calculamos um vector generalizado v2 tal que