Determine a Forma Canónica de Jordan , a base de vectores próprios generalizados e a matriz tal que para as matrizes:
\[A_{1}=\left[ \right] ; A_{2}=\left[ \right]]

Passo 1

O enunciado pede, para cada matriz AinA1,A2, a sua forma canónica de Jordan J, uma base de vectores próprios generalizados e a matriz de passagem S tal que
J=S^-1AS
Para isso vamos calcular o polinómio característico, as multiplicidades algébrica e geométrica de cada valor próprio, encontrar vectores próprios e, quando necessário, vectores próprios generalizados.

Passo 2

Característico de
A1= 1 & -1 & 0 -1 & 2 & 1 0 & -1 & 1
Calculamos
det(A1-lambda I) =(1-lambda)det!2-lambda&1-1&1-lambda -(-1)det!-1&10&1-lambda
=(1-lambda)l((2-lambda)(1-lambda)+1r)+(lambda-1) =-(lambda-1)^2(lambda-2)

Passo 3

Do polinómio ;-(lambda-1)^2(lambda-2)=0 vem os valores próprios
lambda=1 (algébrica 2) e lambda=2 (algébrica 1). Como a dimensão do núcleo de A1-I é 1 (ver passo seguinte), teremos um bloco de Jordan de tamanho 2 para lambda=1 e um bloco 1times 1 para lambda=2. Assim
J1= 1&1&0 0&1&0 0&0&2

Passo 4

Vectores próprios de A1.
1. Para lambda=1 resolvemos (A1-I)x=0, obtendo
x=(x1,x2,x3),; -x2=0,;-x1+x3=0;Longrightarrow;x2=0,;x3=x1
Um gerador é
v1=(1,0,1)
2. Para lambda=2 resolvemos (A1-2I)u=0, obtendo
u=(-1,1,-1)

Passo 5

Como dimker(A1-I)=1<2, precisamos de um vector generalizado v2 que satisfaça
(A1-I),v2=v1
Escrevendo v2=(a,b,c) e usando
(A1-I)(a,b,c)=(, -b,,-a+b+c,,-b)stackrel!= (1,0,1),
vemos que b=-1, c=a+1. Escolhemos a=0 para simplificar e ficamos com
v2=(0,-1,1)

Passo 6

A base de vectores próprios generalizados para A1 é
v1,,v2,,u=(1,0,1),,(0,-1,1),,(-1,1,-1),
tomada na ordem (v1,v2,u). A matriz de passagem S1 cujas colunas são esses vectores é
S1= 1 & 0 & -1 0 & -1 & 1 1 & 1 & -1 ,
e de facto
J1=S1^-1A1S1 =1&1&00&1&00&0&2

Passo 7

Característico de
A2= 2 & 1 & -1 -2 & 1 & 2 -1 & 1 & 2
Calculamos
det(A2-lambda I) =-lambda^3+5lambda^2-7lambda+3 =;(lambda-1)^2(lambda-3)

Passo 8

Do fator (lambda-1)^2(lambda-3)=0 segue lambda=1 (algébrica 2) e lambda=3 (algébrica 1). O núcleo de A2-I é 1-dimensional, logo teremos um bloco 2times 2 para lambda=1 e um 1times 1 para lambda=3. Assim
J2= 1&1&0 0&1&0 0&0&3

Passo 9

Vectores próprios de A2.
1. Para lambda=1 resolvemos (A2-I)x=0, obtendo
x=(x,y,z),;y=0,;z=x,
logo gerador
v1=(1,0,1)
2. Para lambda=3 resolvemos (A2-3I)u=0, obtendo
u=(0,1,1)

Passo 10

lambda=1 tem defeito 1, calculamos um vector generalizado v2 tal que
(A2-I),v2=v1
Com v2=(a,b,c) e
(A2-I)(a,b,c)=(,a+b-c,,-2a+2c,,-a+b+c)stackrel!= (1,0,1),
vem b=1, c=a. Tomamos a=0 para simplificar:
v2=(0,1,0)

Passo 11

A base de vectores próprios generalizados para A2 é
v1,,v2,,u=(1,0,1),,(0,1,0),,(0,1,1),
na ordem (v1,v2,u). A matriz de passagem é
S2= 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 ,
e verifica-se
J2=S2^-1A2S2 =1&1&00&1&00&0&3

Resposta

Para A1:
J1=1&1&00&1&00&0&2, S1=1&0&-10&-1&11&1&-1,
base (1,0,1),,(0,-1,1),,(-1,1,-1).
Para A2:
J2=1&1&00&1&00&0&3, S2=1&0&00&1&11&0&1,
base (1,0,1),,(0,1,0),,(0,1,1).

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