Seja V=Mn. Mostre que as seguintes transformações são lineares :
TP(A)=P A, onde P é inversível.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V=Mn (as matrizes ntimes n sobre um corpo) e a transformação
TPcolon Mnto Mn, TP(A)=P,A,
onde P é uma matriz inversível fixa. Queremos mostrar que TP satisfaz as duas propriedades de linearidade (adição e homogeneidade) e, portanto, é uma transformação linear.

Passo 2

Sejam A,Bin Mn e alpha,beta escalares no corpo base. Então
TP(alpha A + beta B) = P,(alpha A + beta B)
como a multiplicação de matrizes distribui sobre soma e escalares “saem” pela esquerda, temos
P,(alpha A + beta B) = alpha,(P,A) + beta,(P,B) = alpha,TP(A) + beta,TP(B)
Isto mostra simultaneamente a aditividade e a homogeneidade de TP.

Resposta

A transformação TP(A)=P,A é linear, pois preserva soma e multiplicação por escalar.

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