Seja
. Mostre que as seguintes transformações são lineares :
, onde
é inversível.
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
(as matrizes
sobre um corpo) e a transformação
onde
é uma matriz inversível fixa. Queremos mostrar que
satisfaz as duas propriedades de linearidade (adição e homogeneidade) e, portanto, é uma transformação linear.
Passo 2
Sejam
e
escalares no corpo base. Então
como a multiplicação de matrizes distribui sobre soma e escalares “saem” pela esquerda, temos
Isto mostra simultaneamente a aditividade e a homogeneidade de
.
Resposta
A transformação
é linear, pois preserva soma e multiplicação por escalar.