Determine a Forma Canónica de Jordan , a base de vectores próprios generalizados e a matriz tal que para as matrizes:
Determine “por inspecção” a Forma Canónica de Jordan de cada uma das seguintes matrizes, indicando as multiplicidades algébrica e geométrica de cada um dos valores próprios:
Passo 1
O enunciado pede a decomposição de Jordan “por inspecção” das matrizes
A,;B,;C,;D
determinando para cada caso a forma canónica J, as multiplicidades algébrica e geométrica de cada valor próprio, uma base adequada de vectores próprios (e generalizados) e a matriz de passagem S tal que
J = S^-1 A S
(nos casos óbvios troque A por B,C,D).
Passo 2
Método geral por inspeção de matrizes triangulares: 1. Os valores próprios são as entradas da diagonal (contadas com multiplicidade). 2. A multiplicidade algébrica de lambda é o seu número de aparições na diagonal. 3. A multiplicidade geométrica de lambda é dimker(A-lambda I). 4. O número de blocos de Jordan é igual à multiplicidade geométrica, e os tamanhos dos blocos se ajustam para totalizar a multiplicidade algébrica. 5. Para cada bloco de tamanho k constrói-se uma cadeia generalizada v1,(A-lambda I)v2=v1,dots.
Passo 3
Matriz
A=1&4&50&2&60&0&3
– Valores próprios: lambda1=1,;lambda2=2,;lambda3=3, cada um com multiplicidade algébrica 1.
– Cada ker(A-lambdaiI) tem dimensão 1 (são distintos), logo geométrica 1.
– Logo A é diagonalizável e
JA=diag(1,2,3)
– Escolha natural de vectores próprios: colunas da identidade.
SA = I3, JA = SA^-1A,SA
Passo 4
Matriz
– Traço , determinante , o polinómio característico é
cada um com multiplicidade algébrica .
– São distintos sobre , logo geométricas e é diagonalizável sobre :
– Vectores próprios: para ,
escolha . Para , tome .
Passo 5
Matriz
C=2&1&20&2&00&0&2
– Valor próprio único lambda=2 com multiplicidade algébrica 3.
–
C-2I=0&1&20&0&00&0&0
tem posto 1, logo dimker(C-2I)=2.
– Multiplicidade geométrica 2. Logo dois blocos de Jordan que somados dão tamanho 3: um bloco 2times2 e um bloco 1times1.
JC = 2&1&00&2&00&0&2
– Base de vectores próprios e generalizados: bul<=t Escolha ;v1=(1,0,0)^T como eigenvector. bul<=t Encontre w tal que (C-2I)w=v1. Basta resolver w2+2w3=1, escolha w=(0,1,0)^T. bul<=t E outro eigenvector independente: (0,-2,1)^T.
SC = l[v1;w;(0,-2,1)^Tr], JC = SC^-1C,SC
Passo 6
Matriz
D=2&1&20&2&10&0&2
– Valor próprio único lambda=2 com multiplicidade algébrica 3.
–
D-2I=0&1&20&0&10&0&0
tem posto 2, logo dimker(D-2I)=1.
– Multiplicidade geométrica 1. Logo um único bloco de Jordan de tamanho 3:
JD = 2&1&00&2&10&0&2
– Cadeia de comprimento 3: 1. Eigenvector v1=(1,0,0)^T. 2. v2 tal que (D-2I)v2=v1; escolha v2=(0,1,0)^T. 3. v3 tal que (D-2I)v3=v2; escolha v3=(0,-2,1)^T.