Seja V=Mn. Mostre que as seguintes transformações são lineares :
T(A)=P A Q, onde P, Q são inversíveis.

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial V = Mn de todas as matrizes ntimes n sobre um corpo Bbb K. Definimos a transformação
Tcolon V to V, T(A) = P,A,Q,
onde P e Q são matrizes fixas e invertíveis em Mn. Para mostrar que T é linear, vamos usar a definição de transformação linear: para quaisquer A,Bin V e lambdain Bbb K, devemos verificar
  1. T(A+B) = T(A) + T(B),
  2. T(lambda A) = lambda,T(A).

Passo 2

Verificação da aditividade:
Tomemos A,Bin Mn. Então
T(A+B) = P,(A+B),Q
Pela distributividade da multiplicação de matrizes temos
P,(A+B),Q = P,A,Q + P,B,Q = T(A) + T(B)

Passo 3

Verificação da homogeneidade:
Seja lambdain Bbb K e Ain Mn. Então
T(lambda A) = P,(lambda A),Q
Como a multiplicação de escalar em matrizes pode ser “fatorada”,
P,(lambda A),Q = lambda,(P,A,Q) = lambda,T(A)

Resposta

T satisfaz aditividade e homogeneidade, logo é uma transformação linear.

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