Seja
. Mostre que as seguintes transformações são lineares :
, onde
são inversíveis.
Passo 1
O enunciado considera o espaço vetorial
de todas as matrizes
sobre um corpo
. Definimos a transformação
onde
e
são matrizes fixas e invertíveis em
. Para mostrar que
é linear, vamos usar a definição de transformação linear: para quaisquer
e
, devemos verificar
-
, -
.
Passo 2
Verificação da aditividade:
Tomemos . Então
Tomemos
Pela distributividade da multiplicação de matrizes temos
Passo 3
Verificação da homogeneidade:
Seja e
. Então
Seja
Como a multiplicação de escalar em matrizes pode ser “fatorada”,