Determine a forma canônica de Jordan para cada operador linear T (ou matriz A ) indicado(a) abaixo.
T: R^3 R^3 é definido por T(x, y, z)=(x+y, y,-2 x-2 y+2 z).

Passo 1

O enunciado pede a forma canônica de Jordan do operador linear
Tcolon R^3toR^3, T(x,y,z) = (x+y,;y,;-2x-2y+2z)
O conteúdo é a teoria de valores próprios, multiplicidades algébrica e geométrica, e blocos de Jordan. Vamos representar T por sua matriz A na base canônica, achar o polinômio característico, os autovalores com suas multiplicidades, determinar as dimensões dos espaços próprios e concluir os tamanhos dos blocos de Jordan.

Passo 2

Na base canônica e1,e2,e3,
T(e1)=T(1,0,0)=(1,0,-2), T(e2)=T(0,1,0)=(1,1,-2), T(e3)=T(0,0,1)=(0,0,2)
Logo a matriz de T é
A = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 -2 & -2 & 2

Passo 3

Calculamos o polinômio característico chiA(lambda)=det(A-lambda I).
A - lambda I = 1-lambda & 1 & 0 0 & 1-lambda & 0 -2 & -2 & 2-lambda
Expandindo pela terceira coluna,
chiA(lambda) = (2-lambda),det1-lambda & 1[6pt]0 & 1-lambda = (2-lambda),(1-lambda)^2 ]

Passo 4

Do polinômio
Para , resolvemos .
logo (mult. geométrica ).
Para , a mult. algébrica é , logo a mult. geométrica também é .

Passo 5

Como em lambda=1 temos mult. algébrica 2 e geométrica 1, isso gera um único bloco de Jordan de tamanho 2 para o valor próprio 1. Para lambda=2 fica um bloco 1times1. Assim, a forma canônica de Jordan é
J = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2 ,
ou seja, blocos ;J2(1) e ;J1(2).

Resposta

A forma canônica de Jordan é
J = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2 ,
isto é, diag(J2(1),,J1(2)).

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