Determine a forma de decomposição em frações parciais das funções abaixo. Não precisa determinar os valores dos coeficientes.
1x^5-6 x^4+12 x^3-8 x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa fração parcial! O enunciado pede para decompor a função 1x^5-6 x^4+12 x^3-8 x^2 em frações parciais. Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra, mais especificamente na decomposição de frações racionais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador completamente.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^5-6 x^4+12 x^3-8 x^2. Perceba que todos os termos têm x^2 como fator comum. Então, podemos tirar esse fator:
x^5-6 x^4+12 x^3-8 x^2 = x^2(x^3 - 6x^2 + 12x - 8)

Passo 3

Agora, vamos fatorar o polinômio cúbico x^3 - 6x^2 + 12x - 8. Para isso, podemos tentar encontrar raízes racionais usando o teorema das raízes racionais. Testando x = 2:
2^3 - 6(2)^2 + 12(2) - 8 = 8 - 24 + 24 - 8 = 0
Então, x = 2 é uma raiz. Isso significa que (x - 2) é um fator.

Passo 4

Vamos dividir o polinômio x^3 - 6x^2 + 12x - 8 por (x - 2) para encontrar os outros fatores:
x^3 - 6x^2 + 12x - 8 = (x - 2)(x^2 - 4x + 4)

Passo 5

Agora, fatoramos o polinômio quadrático x^2 - 4x + 4:
x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2

Passo 6

Então, o denominador todo fica:
x^5-6 x^4+12 x^3-8 x^2 = x^2(x - 2)^3

Passo 7

Agora, podemos escrever a decomposição em frações parciais. Para cada fator linear repetido, usamos termos com potências crescentes:
1x^2(x - 2)^3 = Ax + Bx^2 + Cx - 2 + D(x - 2)^2 + E(x - 2)^3

Resposta

A decomposição em frações parciais da função é:
1x^5-6 x^4+12 x^3-8 x^2 = Ax + Bx^2 + Cx - 2 + D(x - 2)^2 + E(x - 2)^3

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