Seja 0. Mostre que as potências sucessivas
x, x^2, x^3, x^4, ldots, etc
decrescem e podem tornar-se inferiores a qualquer varepsilon>0 prefixado. Em particular, obtenha um expoente n>0 tal que (0,999)^n seja menor do que um milionésimo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, se temos um número $ x $ entre 0 e 1, as potências dele (como $ x $, $ x^2 $, $ x^3 $, etc.) vão diminuindo cada vez mais. Além disso, temos que provar que essas potências podem ficar menores do que qualquer número positivo pequeno que a gente escolher, chamado de $ \varepsilon $. No caso específico, precisamos encontrar um número $ n $ tal que $ (0,999)^n $ seja menor que um milionésimo ($ \frac{1}{1.000.000} $). Para resolver isso, vamos usar propriedades de potências e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender por que as potências de $ x $ diminuem quando $ 0 < x < 1 $. Imagine que $ x = 0,5 $. Então:
x
0 < x < 1
x = 0,5
E assim por diante. Cada vez que elevamos $ x $ a uma potência maior, o resultado fica menor. Isso acontece porque estamos multiplicando um número menor que 1 por ele mesmo várias vezes, diminuindo o valor a cada passo.

Passo 3

Agora, vamos mostrar que essas potências podem ser menores que qualquer $ \varepsilon > 0 $. Seja $ \varepsilon $ qualquer número positivo. Queremos encontrar um $ n $ tal que:
varepsilon > 0
Para resolver isso, vamos usar logaritmos. Tomando o logaritmo natural dos dois lados da desigualdade:
varepsilon
Usando a propriedade dos logaritmos que diz que $ \ln(a^b) = b \ln(a) $, temos:
n
Como $ 0 < x < 1 $, sabemos que $ \ln(x) $ é negativo. Dividindo ambos os lados por $ \ln(x) $ (que é negativo) inverte a desigualdade:
x^n < varepsilon

Passo 4

Vamos aplicar isso ao caso específico onde $ x = 0,999 $ e $ \varepsilon = \frac{1}{1.000.000} = 10^{-6} $. Assim, queremos encontrar $ n $ tal que:
x = 0,999
Aplicando a fórmula que encontramos:
varepsilon = 11.000.000 = 10^-6
Sabemos que $ \ln(10^{-6}) = -6 \ln(10) $ e $ \ln(0,999) $ é aproximadamente $ -0,0010005 $. Substituindo:
n
Calculando os valores numéricos:
(0,999)^n < 10^-6
Então:
n > ln(10^-6)ln(0,999)

Resposta

Portanto, precisamos que $ n $ seja maior do que aproximadamente 13.810 para que $ (0,999)^n $ seja menor que um milionésimo.

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