Seja
a parte da superfície
que se encontra dentro do cilindro
.
Calcule a área de
.
Calcule a área de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área da parte da superfície definida por $ z = xy $ que está dentro do cilindro $ x^{2} + y^{2} = 4 $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de áreas de superfícies no espaço tridimensional. Precisaremos entender como parametrizar a superfície e aplicar integrais duplas para encontrar a área desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície que estamos lidando. A equação $ z = xy $ representa um paraboloide hiperbólico. Queremos encontrar a área dessa superfície que está dentro do cilindro $ x^{2} + y^{2} = 4 $. Esse cilindro é basicamente um círculo de raio 2 no plano $ xy $.
Passo 3
Para calcular a área da superfície $ S $, usamos a fórmula da integral dupla para a área de uma superfície $ z = f(x, y) $:
Onde $ R $ é a região no plano $ xy $ sobre a qual estamos integrando, que nesse caso é o interior do cilindro $ x^{2} + y^{2} = 4 $.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de $ z $:
Substituindo na fórmula da área:
Passo 5
Agora, para facilitar a integração, vamos trocar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
Além disso, o elemento de área $ dx , dy $ se transforma em $ r , dr , d\theta $. A região $ R $ no plano $ xy $ se torna $ r $ variando de 0 a 2 (raio do cilindro) e $ \theta $ variando de 0 a $ 2\pi $.
Passo 6
Substituindo tudo na integral, temos:
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a $ r $:
Passo 7
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição $ u = 1 + r^{2} $. Então, $ du = 2r , dr $, o que implica $ r , dr = \frac{du}{2} $. A integral fica:
Passo 8
Agora, voltando à integral original:
Resposta
A área da superfície $ S $ é: