Seja S a parte da superfície z=x y que se encontra dentro do cilindro x^2+y^2=4.
Calcule a área de S.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área da parte da superfície definida por $ z = xy $ que está dentro do cilindro $ x^{2} + y^{2} = 4 $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de áreas de superfícies no espaço tridimensional. Precisaremos entender como parametrizar a superfície e aplicar integrais duplas para encontrar a área desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície que estamos lidando. A equação $ z = xy $ representa um paraboloide hiperbólico. Queremos encontrar a área dessa superfície que está dentro do cilindro $ x^{2} + y^{2} = 4 $. Esse cilindro é basicamente um círculo de raio 2 no plano $ xy $.

Passo 3

Para calcular a área da superfície $ S $, usamos a fórmula da integral dupla para a área de uma superfície $ z = f(x, y) $:
S Á
Onde $ R $ é a região no plano $ xy $ sobre a qual estamos integrando, que nesse caso é o interior do cilindro $ x^{2} + y^{2} = 4 $.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de $ z $:
z
Substituindo na fórmula da área:
partial zpartial x = y e partial zpartial y = x Á

Passo 5

Agora, para facilitar a integração, vamos trocar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
x = r cos theta e y = r sin theta
Além disso, o elemento de área $ dx , dy $ se transforma em $ r , dr , d\theta $. A região $ R $ no plano $ xy $ se torna $ r $ variando de 0 a 2 (raio do cilindro) e $ \theta $ variando de 0 a $ 2\pi $.

Passo 6

Substituindo tudo na integral, temos:
Área = integral0^2pi integral0^2 raiz1 + r^2 cdot r , dr , dtheta Á
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a $ r $:
r

Passo 7

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição $ u = 1 + r^{2} $. Então, $ du = 2r , dr $, o que implica $ r , dr = \frac{du}{2} $. A integral fica:
u = 1 + r^2
du = 2r , dr

Passo 8

Agora, voltando à integral original:
Área = integral0^2pi 13 (5raiz5 - 1) dtheta = 13 (5raiz5 - 1) integral0^2pi dtheta Á
= 13 (5raiz5 - 1) cdot 2pi = 2pi3 (5raiz5 - 1)

Resposta

A área da superfície $ S $ é:
S Á

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