Na distribuição gaussiana, temos que a probabilidade é dada por
\wp(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^{2}}} e^{-\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{2 \sigma^{2}}}
Determine os seguintes observáveis:
(b) \overline{x^{2}}

Passo 1

O enunciado nos dá a densidade de probabilidade de uma variável contínua x na forma da distribuição gaussiana centrada em x_{0} com desvio padrão \sigma:
\wp(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\,\exp\!\Bigl[-\frac{(x-x_{0})^{2}}{2\sigma^{2}}\Bigr].
Precisamos calcular o observável \overline{x^{2}}, ou seja, o valor esperado de x^{2}. Para isso usamos a definição de esperança para variáveis contínuas.

Passo 2

Escrevemos a esperança \overline{x^{2}} como integral pesoada pela densidade \wp(x):
\overline{x^{2}} = \int_{-\infty}^{\infty} x^{2}\,\wp(x)\,\mathrm{d}x = \int_{-\infty}^{\infty} x^{2}\,\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}} \exp\!\Bigl[-\frac{(x-x_{0})^{2}}{2\sigma^{2}}\Bigr]\mathrm{d}x.

Passo 3

Para simplificar, fazemos a mudança de variável y = x - x_{0}. Então x = y + x_{0} e \mathrm{d}x = \mathrm{d}y. A integral vira
\overline{x^{2}} = \int_{-\infty}^{\infty} (y + x_{0})^{2}\,\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}} e^{-\frac{y^{2}}{2\sigma^{2}}}\mathrm{d}y.

Passo 4

Expandimos (y + x_{0})^{2} = y^{2} + 2x_{0}y + x_{0}^{2} e integramos termo a termo:
\overline{x^{2}} = \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty} y^{2}\,\wp_{0}(y)\,\mathrm{d}y}_{\displaystyle\sigma^{2}} + 2x_{0}\underbrace{\int_{-\infty}^{\infty} y\,\wp_{0}(y)\,\mathrm{d}y}_{\displaystyle 0} + x_{0}^{2}\underbrace{\int_{-\infty}^{\infty} \wp_{0}(y)\,\mathrm{d}y}_{\displaystyle 1},
onde \wp_{0}(y) é a gaussiana de média zero e variância \sigma^{2}. Sabemos que \int y\,\wp_{0}(y)\,\mathrm{d}y=0, \int \wp_{0}(y)\,\mathrm{d}y=1 e \int y^{2}\,\wp_{0}(y)\,\mathrm{d}y=\sigma^{2}.

Passo 5

Somando os termos, obtemos
\overline{x^{2}} = \sigma^{2} + x_{0}^{2}.

Resposta

\overline{x^{2}} = \sigma^{2} + x_{0}^{2}.

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