Determine os seguintes observáveis:
(b) \overline{x^{2}}
Passo 1
O enunciado nos dá a densidade de probabilidade de uma variável contínua x na forma da distribuição gaussiana centrada em x_{0} com desvio padrão \sigma:
Precisamos calcular o observável \overline{x^{2}}, ou seja, o valor esperado de x^{2}. Para isso usamos a definição de esperança para variáveis contínuas.
Passo 2
Escrevemos a esperança \overline{x^{2}} como integral pesoada pela densidade \wp(x):
onde \wp_{0}(y) é a gaussiana de média zero e variância \sigma^{2}. Sabemos que \int y\,\wp_{0}(y)\,\mathrm{d}y=0, \int \wp_{0}(y)\,\mathrm{d}y=1 e \int y^{2}\,\wp_{0}(y)\,\mathrm{d}y=\sigma^{2}.