Determine a forma escalonada dos sistemas lineares abaixo e seu conjunto solução. \left\{\begin{aligned} i x+i y & =0 \\\\ 2 i x-y & =0\end{aligned}\right. sobre \mathbb{C}.
Passo 1
O sistema dado é, sobre \mathbb{C}\),
\[\begin{cases} i x + i y = 0,\\[4pt] 2i x - y = 0. \end{cases}
O que se pede:
determinar uma forma escalonada (matricial, obtida por operações elementares sobre linhas) do sistema;
determinar o conjunto solução (os valores de x\] e \(y em \mathbb{C}).
Informações relevantes fornecidas:
As incógnitas são x e y, que pertencem a \mathbb{C}.
Os coeficientes envolvem o número imaginário i, com i\neq 0.]
Passo 2
Vou escrever a matriz aumentada inicial do sistema (cada entrada escrita em TeX):
\left[\begin{array}{cc|c} i & i & 0\\[4pt] 2i & -1 & 0 \end{array}\right].
Lembrando as operações elementares permitidas sobre linhas quando fazemos eliminação: trocar linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo (aqui um número complexo não nulo) e somar a uma linha um múltiplo escalar de outra. Essas operações preservam o conjunto solução. Trabalhamos normalmente sobre \mathbb{C} porque todo número complexo não nulo tem inverso.]
Passo 3
Eliminação para obter uma forma escalonada: uso a primeira linha como pivô e zero na coluna 1 da segunda linha. Faço a operação
\text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 - 2\,\text{R}_1.
Calculo as entradas da nova \text{R}_2:
primeira coluna: 2i - 2\cdot i = 0,
segunda coluna: -1 - 2\cdot i = -1 - 2i,
coluna aumentada: 0 - 2\cdot 0 = 0.
A matriz resultante é
\left[\begin{array}{cc|c} i & i & 0\\[4pt] 0 & -1 - 2i & 0 \end{array}\right].
Isto já é uma forma escalonada (cada linha não nula tem mais zeros à esquerda que a anterior): pivô na coluna 1 na linha 1 e pivô na coluna 2 na linha 2.]
Passo 4
Podemos transformar a forma escalonada em uma forma escalonada com pivôs iguais a 1 (opcional, para ler a solução diretamente). Divido a primeira linha por i (válido porque i\neq 0) e a segunda linha por -1-2i (válido porque -1-2i\neq 0). Primeiro, observe que dividir por i é permitido pois i^{-1}=-i, então
\text{R}_1 \leftarrow \frac{1}{i}\text{R}_1 \quad\Rightarrow\quad \text{R}_1: \; x + y = 0.
\begin{cases} x + y = 0,\\[4pt] y = 0. \end{cases}]
Passo 5
Lendo as equações obtidas: da segunda equação vem \;y=0. Substituindo na primeira:
x + 0 = 0 \quad\Rightarrow\quad x=0.
Portanto a solução é única: x=0 e y=0.
Como verificação alternativa (sem matriz): da primeira equação i(x+y)=0 dá x+y=0. Substituindo em 2i x - y=0 e usando y=-x obtém-se 2i x -(-x)=x(2i+1)=0. Como 2i+1\neq 0 em \mathbb{C}, segue x=0 e então y=0.
Resposta
Forma escalonada (matriz aumentada): \displaystyle \left[\begin{array}{cc|c} i & i & 0\\[4pt] 0 & -1-2i & 0 \end{array}\right]
Conjunto solução: \{(x,y)\in\mathbb{C}^2 \mid x=0,\; y=0\} = \{(0,0)\}]